Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

3.2. AUSSAGEN, LOGIK 35
Der zweite Fall ist die Äquivalenz. Auch das ist ein wenig zu restriktiv. In diesem Fall
wäre der Satz ”
Sind zwei Zahlen gleich, dann sind auch ihre Quadrate gleich.“ nicht wahr,
denn 2 ≠ −2 aber 2 2 = (−2) 2 .
Im letzten Fall stimmen die Wahrheitswerte des Theorems mit denen von q, also denen des
Resultates überein, und der Wahrheitsgehalt der Voraussetzung wird gar nicht betrachtet.
Das ist ebenfalls unpraktisch; auch in diesem Fall wäre der Satz über die Quadrate gerader
Zahlen nicht wahr.
Wir sehen also, dass vieles dafür spricht, die Implikation so und nicht anders zu definieren.
Alle die jetzt noch nicht überzeugt sind, seien dazu angehalten, die Tatsache einfach zu
akzeptieren und sich daran zu gewöhnen.
Nachdem Schlussfolgerungen das Instrument der Mathematik sind, kommen sie in mathematischen
Texten ausgesprochen oft vor. Deshalb haben sich auch eine Reihe von Standardformulierungen
ausgebildet, die an Stelle der Formulierung ”
daraus folgt“ angewendet
werden können.
• also; auf Grund von; das bedeutet, dass; unter Berücksichtigung von; daher;
damit; es ergibt sich; daraus erhalten wir; dies hat zur Folge; man kann folgern;
wir folgern; folglich; genauer gesagt; dies impliziert; insbesondere; dies hat
zur Konsequenz; mithin; dies lässt sich schreiben als; wir sehen; somit; ein
Spezialfall hiervon ist; nach Umformung ergibt sich; mit anderen Worten; es
zeigt sich, dass,...
Es haben zwar nicht alle diese Formulierungen dieselbe Bedeutung, doch wenn Sie ein bisschen
überlegen, wird es Ihnen nicht schwer fallen, vielleicht mit ein wenig Erfahrung, die
feinen Unterschiede herauszuarbeiten.
Gut ist auch, wenn Sie Ihre Leserin oder Ihren Hörer darauf hinweisen, warum eine
Folgerung richtig ist.
• nach Annahme; auf Grund von Satz 4.29; unter Berücksichtigung der Theorie
der...; da V endlich dimensional ist; aus der Definition ergibt sich; per definitionem
ist; nach Voraussetzung; wegen Lemma 12.2; weil f stetig ist...
Zuletzt können Sie noch den Aufwand verdeutlichen, der benötigt wird, um ein Resultat
nach zu vollziehen.
• durch einfaches Ausrechnen; durch genaues Hinsehen; wie man leicht sieht;
offenbar; offensichtlich; durch technische und uninteressante Abschätzungen;
durch triviale und langweilige Rechnung; trivialerweise; durch mühsame
Umformungen; durch Überprüfen der Wahrheitstabellen;...
Verjuxen Sie nicht den Vertrauensvorschuss Ihrer LeserIn durch falsche Angaben über den
Aufwand. Behaupten Sie grundsätzlich nicht, dass etwas leicht einzusehen ist, wenn Sie mehr
als 15 Minuten gebraucht haben, um es selbst einzusehen.
Zum Gebrauch des Wortes trivial ist zu sagen, dass die wenigsten Schritte in der Mathematik
tatsächlich trivial sind. Trivial ist ein Beweisschritt nur dann, wenn er unmittelbar
folgt (etwa direkt durch Anwendung einer Definition). Steckt ein, wenn auch noch so leicht
einzusehender Beweis hinter dem Schritt, so ist er schon nicht mehr trivial.
Übrigens existiert noch eine zweite, technische Bedeutung des Wortes trivial in der Mathematik,
nämlich als Adjektiv wie in
oder
Die trivialen Teiler einer natürlichen Zahl n sind 1 und n.
Ein homogenes lineares Gleichungssystem hat immer zumindest eine Lösung,
nämlich die triviale.