Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

116 6. ZAHLENMENGEN
Beweis. Sei S ein Schnitt von der Form (6.13). Nun ist q eine untere Schranke von
S, und falls q ′ ∈Émit q ′ > q, dann ist q ′ keine untere Schranke von S. Es ist nämlich
q ′ > 1 2 (q′ + q) > q, und daher 1 2 (q′ + q) ∈ S. Daher ist q das Infimum von S und S rational.
Nun sei S ein rationaler Schnitt. Es existiert q = inf S, und wir definierenËq = {q ′ ∈
É|q ′ > q}. Weil q untere Schranke von S ist, folgt S ⊆Ëq. Sei nun t ∈Ëq. Falls t /∈ S
gilt, wissen wir, dass ∀s ∈ S : s ≥ t. Daher ist t eine untere Schranke von S mit t > q. Das
widerspricht der Infimumseigenschaft von q. Daher ist t ∈ S und S =Ëq.
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Auf diese Weise sehen wir, dass für je zwei rationale Zahlen q und r die zugehörigen
rationalen SchnitteËq undËr genau dann gleich sind, wenn q = r. Die Abbildung ι :É→R
mit ι : q ↦→Ëq ist also injektiv. Auf diese Weise wirdÉin R eingebettet, und wir können in
Zukunft die rationale Zahl q mit dem SchnittËq identifizieren.
Proposition 6.4.18. (G, +) ist eine abelsche Gruppe.
Beweis. Wir weisen sukzessive alle Eigenschaften nach:
AG: Seien S, T und U Schnitte.
(S + T) + U = {x + u | x ∈ S + T, u ∈ U} = {(s + t) + u | s ∈ S, t ∈ T, u ∈ U} =
= {s + (t + u) | s ∈ S, t ∈ T, u ∈ U} = {s + y | s ∈ S, y ∈ T + U} =
= S + (T + U).
KG: Für zwei Schnitte S und T sind die Mengen S + T und T + S gleich, weil die
Addition inÉkommutativ ist.
Nullelement: Der rationale Schnitt 0 := {q ∈É|q > 0} =Ë0 ist das Nullelement.
Sei nämlich T ein beliebiger Schnitt. Dann erhalten wir
0 + T = {s + t | s ∈ 0, t ∈ T }.
Wir müssen nachweisen, dass 0 + T = T gilt. Sei x ∈ 0 + T, dann gibt es s ∈ 0 und
t ∈ T mit s + t = x. Wegen s > 0 ist x > t und damit gilt x ∈ T, also 0 + T ⊆ T.
Umgekehrt sei t ∈ T. Weil T ein Schnitt ist, gibt es ein t ′ ∈ T mit t ′ < t. Setzen
wir nun s = t − t ′ , dann ist s ∈ 0 und t = s + t ′ ∈ S + T, was wiederum T ⊆ 0 + T
beweist.
Inverse: Betrachten wir wieder einen Schnitt S. Wir definieren
−S := {q ∈É|∀s ∈ S : q > −s ∧ ∀t ∈É:(t = inf S ⇒ q ≠ −t)}
den zu S negativen Schnitt. Wir behaupten S + (−S) = 0. Zuerst müssen wir aber
zeigen, dass −S tatsächlich ein Schnitt ist.
Sei q ′ eine untere Schranke von S. Dann gilt ∀s ∈ S : q = q ′ −1 < s und deshalb
∀s ∈ S : −q > −s, also ist −S nichtleer. Für ein beliebiges Element s ∈ S folgt,
dass jedes Element s ′ ∈ −S die Ungleichung s ′ ≥ −s erfüllen muss, also ist −s eine
untere Schranke von −S.
Sei nun q ∈É\(−S). Dann gibt es s ∈ S mit q ≤ −s, also −q ≥ s. Weil S ein
Schnitt ist, folgt −q ∈ S. Darum gilt aber ∀t ∈ (−S) : t > q. Das beweist S1.
S2 beweisen wir indirekt. Sei q ∈ (−S) gegeben mit ∀t ∈ (−S) : q ≤ t. Dann ist
q eine untere Schranke von −S, also ein Minimum und erst recht ein Infimum von
−S. Das ist aber unmöglich wegen der Definition von −S. Falls ˜s := inf S existiert,
dann ist −˜s das Supremum der Menge ˜S := {−s | s ∈ S}, des Komplements von
−S, und damit das Infimum von −S. Nach Definition ist −˜s /∈ (−S).
Sei x ∈ S + (−S), dann existieren s ∈ S und t ∈ −S mit s + t = x. Dass t ∈ −S
liegt, impliziert t > −s und damit auch x = s+t > 0. Daher ist S +(−S) ⊆ 0. Nun
sei y > 0. Wir suchen gemäß Proposition 6.4.11.(2) zwei rationale Zahlen q und r
mit q ∈ S, r ∈ Q \ S und q − r < y. Es gilt ∀s ∈ S : s > r, und daher ist −r ∈ −S.