Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

6.4. DIE REELLEN ZAHLENÊ 115
Für q ∈ M ∩S und r ∈ M ∩ (É\S). Es existiert ein kleinstes Element q m ∈ M ∩S,
weil M endlich ist. Dann ist r m := q m − q−r ∈ M ∩ (É\S), und wir haben zwei
n
rationale Zahlen q m und r m wie benötigt gefunden, da q m − r m = q−r < ε gilt. n
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Definition 6.4.12. Sei R ⊆ÈÉdie Menge aller Schnitte vonÉ. Wir definieren auf R
die Relation ≤ durch
S ≤ T := S ⊇ T. (6.12)
Proposition 6.4.13. Die Relation ≤ macht R zu einer totalgeordneten Menge.
Beweis. Wir müssen die Ordnungseigenschaften überprüfen. Halbordnung ist eigentlich
klar, da ⊇ eine Halbordnung aufÈÉbildet, doch wir schreiben alles noch einmal auf:
Reflexivität: Es für jede Menge S ⊇ S.
Symmetrie: Sind S ⊇ T und T ⊇ S erfüllt, so ist S = T.
Transitivität: Seien S ⊇ T und T ⊇ U. Ist u ∈ U, dann ist u ∈ T, und daher gilt
u ∈ S. Das impliziert S ⊇ U.
Es bleibt zu zeigen, dass ≤ eine Totalordnung ist. Seien S und T zwei Schnitte und S ≠ T.
Ist S ≰ T, dann ist S T, und daher gibt es ein t ∈ T mit t /∈ S. In diesem Fall liegt
t ∈É\S, also ist für alle s ∈ S die Ungleichung s ≥ t erfüllt. Wegen Proposition 6.4.11.(1)
bedeutet das aber s ∈ T, und das impliziert S ⊆ T, also S ≥ T. Damit sind je zwei Schnitte
vergleichbar, und ≤ ist eine Totalordnung auf R.
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ein.
Definition 6.4.14. Als nächstes führen wir die Abbildung + : R × R →ÈÉdurch
S + T := {s + t | s ∈ S ∧ t ∈ T }
für S, T ∈ R
Proposition 6.4.15. Diese Abbildung führt sogar wieder nach R. Es ist also S + T
wieder ein Schnitt:
Beweis.
• Sind s ∈ S und t ∈ T, dann ist s + t ∈ S + T, also ist S + T ≠ ∅.
• Sei σ untere Schranke von S und τ untere Schranke von T. Für beliebiges x ∈ S +T
gibt es s ∈ S und t ∈ T mit x = s + t. Aus den Eigenschaften von ≤ aufÉfolgt
ferner x = s + t ≤ σ + τ. Daher ist S + T nach unten beschränkt.
• Betrachten wir q ∈É\(S + T). Sei s ∈ S gegeben, wir wissen ∀t ∈ T : s + t ≠ q.
Wir formen das um zu ∀t ∈ T : t ≠ q − s, und daher ist q − s ∈É\T. Weil T ein
Schnitt ist, folgt ∀t ∈ T : t ≥ q − s. Bringen wir s zurück auf die linke Seite, ergibt
das ∀t ∈ T : s+t ≥ q, darum gilt für alle x ∈ S +T, dass x ≥ q, also ist Eigenschaft
S1 erfüllt.
• Sei x ∈ S + T beliebig. Dann existieren s ∈ S und t ∈ T mit s + t = x. Weil S
und T Schnitte sind, gibt es s ′ ∈ S und t ′ ∈ T mit s > s ′ und t > t ′ . Daher ist
x ′ = s ′ + t ′ ∈ S + T, und es gilt x > x ′ . Das weist Eigenschaft S2 nach.
Das beweist, dass (R, +) ein Gruppoid bildet. Bevor wir die weiteren Eigenschaften nachweisen,
betrachten wir noch ein Klasse spezieller Schnitte.
Definition 6.4.16. Ein Schnitt S heißt rational, falls er ein Infimum besitzt.
Proposition 6.4.17. Ein Schnitt S ist genau dann rational, wenn es ein q ∈Égibt mit
S =Ëq := {q ′ ∈É|q ′ > q}. (6.13)
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