Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

und
4.2. RELATIONEN 51
Definition 4.1.20 (Produkt).
(i) Seien A und B Mengen. Die Produktmenge A × B, auch genannt das Cartesische
Produkt von A und B, ist die Menge aller geordneten Paare (a, b) aus Elementen
von A und B, formal
A × B := {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.
(ii) Sind k-stück Mengen M 1 , . . .,M k gegeben, so können wir analog die geordneten k-
tupel bilden (m 1 , . . ., m k ) mit m i ∈ M i für i = 1, . . ., k. Das Cartesische Produkt
k
i=1 M i = M 1 ×. . .×M k der M i ist dann die Menge aller geordneten k-tupel dieser
Form, d.h.
k
M i := {(m 1 , . . ., m k ) | ∀i : m i ∈ M i }.
i=1
(iii) Ist A = B bzw. M i = A für alle i, so schreiben wir statt A × A und A × . . . × A
} {{ }
k mal
kurz A 2 bzw. A k .
Beispiel 4.1.21 (Produkte). Seien A = {1, 2, 3} und B = {a, b}, dann ist
A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
A 2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2,3), (3, 1), (3, 2),(3, 3)}.
Man kann auch das Cartesische Produkt beliebig vieler Mengen M i , i ∈ I bilden; die
Definition ist allerdings ein wenig komplizierter und benötigt Funktionen. Daher wird sie
erst in Abschnitt 4.3 nachgeholt werden.
4.2. Relationen
In diesem Abschnitt geht es darum einen Formalismus zu entwickeln, der es gestattet,
Elemente von Mengen miteinander in Beziehung zu setzen.
Beispiel 4.2.1. Sei etwa M die Menge aller HörerInnen in einem Hörsaal. Betrachten
wir die Beziehung ”
ist verwandt mit“. Wir können dann zu je zwei Personen A und B im
Hörsaal eine Aussage darüber machen, ob A mit B verwandt ist.
Eine andere Beziehung, die wir auf M betrachten könnten ist ”
ist Bruder von“. Natürlich
ist jeder Bruder auch ein Verwandter. Umgekehrt muss das nicht der Fall sein.
Schließlich ist eine dritte mögliche Beziehung ”
wohnt im selben Bezirk wie“.
Beziehungen in der Art von Beispiel 4.2.1 zwischen Elementen von Mengen nennt man
Relationen. Im folgenden wollen wir eine mathematische Definition dafür geben.
Definition 4.2.2 (Relation). Seien M und N Mengen. Eine Relation auf M × N ist
eine Teilmenge R des Cartesischen Produkts, d.h. R ⊆ M × N.
Für zwei Elemente a ∈ M und b ∈ N sagen wir: a steht in Relation mit b, falls (a, b) ∈ R
gilt. Wir schreiben dann in Symbolen
a R b.
Stehen a und b nicht miteinander in Relation, so schreiben wir a R b.
Meist werden Relationen nicht mit R sondern mit Symbolen bezeichnet. Typische Relationssymbole
sind