Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

5.2. GRUPPEN 75
(ii) Analog heißt ein Element e R ∈ G Rechtseinselement (rechtsneutrales Element),
wenn sich bei Verknüpfung von rechts ”
nichts ändert“:
∀g ∈ G : g ◦ e R = g.
Gibt es ein Element e ∈ G, das sowohl Links- als auch Rechtseinselement ist, dann heißt
e Einselement. Formal definieren wir.
Definition 5.2.5 (Einselement). Ein Element e eines Gruppoids G heißt Einselement
oder neutrales Element, falls
∀g ∈ G : g ◦ e = e ◦ g = g
gilt. Wird die Verknüpfung mit + bezeichnet (additiv geschrieben), so bezeichnet man e oft
mit 0 oder¼und nennt es Nullelement. Einselemente bezüglich multiplikativ geschriebener
Verknüpfungen erhalten auch oft die Bezeichnung 1 oder½.
Beispiel 5.2.6 (Neutralitätseigenschaft).
(Æ, +), . . .,(Ê, ·): Für die Addition von natürlichen, ganzen und reellen Zahlen ist
klarerweise 0 das Nullelement, und für die Multiplikation ist 1 das Einselement.
(T, ◦): Die Menge T enthält die Translation der Länge 0, welche das Objekt nicht von
der Stelle bewegt. (Die Richtung ist hierbei egal!) Sie ist das Einselement von T.
(D, ◦): Die Drehung um 0 Grad (die Achse ist dabei unerheblich) ist das Einselement
der Halbgruppe D.
(Abb(M), ◦): In der Menge der Abbildungen Abb(M) bildet die Identität½M (vgl. Seite
60) auf M das Einselement.
(W, ◦), (S, ◦): Führt man nicht künstlich leere Hauptwörter oder leere Strichblöcke
ein, so enthalten W und S keine neutralen Elemente.
( )
0 0
(M 2 (Ê), +): Die Nullmatrix ist das Nullelement von (M
0 0
2 (Ê), +).
( )
1 0
(M 2 (Ê), ·): Auch (M 2 (Ê), ·) hat ein Einselement, nämlich die Einheitsmatrix .
0 1
(FP 2 , ⊕): Die Menge FP 2 hat ebenfalls ein Nullelement. Die Zahl 0 ist in FP 2 enthalten
und besitzt alle Eigenschaften eines neutralen Elements.
Nach Definition 5.2.5 können wir uns schon einmal fragen, welche Konsequenzen die
Existenz eines Einselements hat. Die ersten beiden Ergebnisse finden wir in den folgenden
Propositionen. Beim Beweis derselben, sowie bei den übrigen Beweisen in diesem Abschnitt
müssen wir genauestens auf die Eigenschaften achten, die wir verwenden dürfen. Einer der
beliebtesten Fehler in der Algebra ist, in Beweisen ohne zu zögern Eigenschaften der Verknüpfung
zu verwenden, die gar nicht erfüllt sind — also Achtung!
Die Stärke der mathematischen Strukturtheorie gilt es auszunutzen. Wir wollen zum Beispiel
die interessante Frage beantworten, ob in all unseren Beispielen das angegebene Einselement
das einzige Element der Grundmenge ist, das die Neutralitätseigenschaft aufweist.
Um nicht jedes Beispiel einzeln untersuchen zu müssen, verwenden wir nur die Struktureigenschaften
für den Beweis.
Proposition 5.2.7 (Eindeutigkeit des neutralen Elements).
(i) Besitzt ein Gruppoid (G, ◦) ein Einselement e, d.h. ∃e ∈ G :
∀g ∈ G : g ◦ e = e ◦ g = g,
so ist e eindeutig bestimmt (und wir können also von dem Einselement in G sprechen).