Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

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12 2. GRUNDLAGEN Die Anwendung dieser Zeichen folgt demselben Schema wie die des Summenzeichens. So ist etwa 5∏ b i = b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 , i=1 0∏ x i = 1, i=1 Das leere Produkt“ (obere Grenze ist kleiner als untere Grenze) wird also als 1 festgelegt. ” Oft lassen sich Teile der verknüpften Ausdrücke vor das Verknüpfungszeichen ziehen, wobei man stets darauf achten muss, dass dies nach den Rechenregeln für die jeweilige Operation geschieht—beim Summenzeichen also das Herausheben, d.h.: n∑ n∑ 7x i = 7 x i . ACHTUNG: Nur Konstante können herausgehoben werden! Also nicht: n∑ n∑ ix i ≠ i x i . i=1 i=1 Beim Produktzeichen ist zu beachten, dass solche Konstanten ja multipliziert werden! Daher: n∏ ∏ n 7x i = 7 n x i . i=1 Man kann das Produktzeichen auch verwenden um Fakultäten anzuschreiben. Zunächst definieren wir. Definition 2.3.1 (Fakultät). Die Fakultät n! (sprich: n Fakultät, oder: n faktorielle) einer natürlichen Zahl n ist rekursiv definiert durch: 0! := 1 i=1 i=1 i=1 (n + 1)! := (n + 1)n! Das Zeichen := (definitorisches Gleichheitszeichen) bedeutet, dass die linke Seite (hier 0! resp. (n + 1)!) durch die rechte Seite definiert wird. Unter einer rekursiven Darstellung oder Definition eines von n inÆabhängigen Ausdrucks A(n) verstehen wir allgemein die Angabe einer Vorschrift zur Berechnung von A(n) mit Hilfe einiger oder aller seiner bereits erklärten Vorgänger A(n − 1), A(n − 2), . . .. Genau das haben wir oben für A(n) = n! getan, indem wir zunächst A(0) = 0! := 1 definiert und dann angegeben haben, wie A(n + 1) = (n + 1)! aus A(n) = n! zu berechnen ist (eben gemäß A(n + 1) := (n + 1) A(n)). Im Unterschied dazu sprechen wir von einer geschlossenen Darstellung, falls A(n) ohne Bezugnahme auf seine Vorgänger angegeben wird. Nun geben wir wie versprochen eine Darstellung der Fakultäten mit Hilfe des Produktzeichens an. Dabei handelt es sich um die unmittelbar einsichtige, geschlossene Darstellung n∏ n! = i Dieser Ausdruck wird besonders für kombinatorische Probleme benötigt. So gibt n! die Anzahl der Möglichkeiten an, n verschiedene Dinge hintereinander aufzureihen. i=1
2.4. GLEICHUNGSUMFORMUNGEN IN BEWEISEN — STIL UND FALLEN 13 Eine wesentliche Vereinfachung ist bei Summanden spezieller Gestalt möglich, nämlich für sogenannte Teleskopsummen: n∑ (a i − a i−1 ) = a 1 − a 0 + a 2 − a 1 + a 3 − a 2 + · · · + a n−1 − a n−2 + a n − a n−1 = a n − a 0 i=1 Analog ergeben sich Teleskopprodukte: n∏ a i = a n a i−1 a 0 i=1 Zum Abschluss stellen wir noch eine weitere Verwendung des Summenzeichens vor (Analoges gilt natürlich auch für die verwandten Zeichen). Der Ausdruck ∑ i∈I definiert eine Summe, die für jedes Element der Menge I einen Term enthält. (Wir verwenden hier den Mengenbegriff naiv, er wird im Kapitel 4 präzisiert.) Ähnlich wie zuvor wird im allgemeinen Summanden die Laufvariable i jeweils durch das ausgewählte Element ersetzt. Diese Notation hat vor allem zwei Vorteile. Zum einen können auch ” unregelmäßige“ Indexmengen verwendet werden, und zum anderen bleibt die Anzahl der Indizes nicht auf endlich (oder abzählbar; vgl. 4.4 unten) viele beschränkt. Beispiel 2.3.2. Es gilt ∑ i∈{1,4,7,21} a i a 2 i = a2 1 + a2 4 + a2 7 + a2 21 . 2.4. Gleichungsumformungen in Beweisen — Stil und Fallen 2.4.1. Elementare Umformungen. Zunächst zur Schreib- und Sprechweise: Werden Ketten von Gleichungen untereinander geschrieben, so bedeutet das, dass die untere Gleichung aus der oberen folgt, d.h.: Wenn die obere Gleichung gilt, dann gilt auch die untere. Beispiel 2.4.1. Betrachten wir die Ableitung 3r 2 + 4r + 5 = −r 3 + r + 4 | + r 3 − r − 4 r 3 + 3r 2 + 3r + 1 = 0 (r + 1) 3 = 0 | √ 3 r + 1 = 0 | − 1 r = −1 Sie ist, wie in der Mathematik üblich, von oben nach unten gültig. Das bedeutet, wenn wir Folgerungspfeile einführen, können wir die Implikationen hervorheben 3r 2 + 4r + 5 = −r 3 + r + 4 | + r 3 − r − 4 ⇒ r 3 + 3r 2 + 3r + 1 = 0 ⇒ (r + 1) 3 = 0 | √ 3 ⇒ r + 1 = 0 | − 1 ⇒ r = −1 und wenn wir alle Zwischenschritte weglassen, ergibt sich der logische Schluss 3r 2 + 4r + 5 = −r 3 + r + 4 ⇒ r = −1.
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5.1. MOTIVATION 71 aus Zahlen a ij
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KAPITEL 6 Zahlenmengen Dieses letzt
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