Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

4.1. NAIVE MENGENLEHRE 43
Im Jahr 1878 versuchte er eine weitere Publikation im Crelle-Journal, doch stieß er auf
heftigen Widerstand der damals Ton angebenden mathematischen Schule der Konstruktivisten
mit ihrem führenden Kopf Leopold Kronecker (1823–1891), die keine mathematischen
Sachverhalte akzeptieren wollten, die sich nicht in endlich vielen Schritten aus den natürlichen
Zahlen konstruieren ließen. Erst nach massiver Intervention von Karl Weierstrass (1815–
1897) wurde die Arbeit schließlich akzeptiert. Das war der Beginn eines langen Kampfes
innerhalb der Mathematik um ihre philosophischen und später auch logischen Grundlagen,
der z.B. durch folgende Zitate schön belegt werden kann:
Aus dem Paradies [die Mengenlehre], das Cantor uns geschaffen hat, soll
”
uns niemand mehr vertreiben können.“ David Hilbert (1862–1943)
Spätere Generationen werden die Mengenlehre als Krankheit ansehen, die
”
man überwunden hat.“ Jules Henri Poincare (1854–1912)
Dieser Kampf wurde nicht nur auf mathematischer sondern auch auf menschlicher Ebene
ausgetragen, so blockierten etwa Kronecker und Hermann Schwarz (1843–1921) Cantors
Stellenbewerbungen.
Von 1879 bis 1884 veröffentlichte Cantor in den Mathematischen Annalen eine sechsteilige
Abhandlung über die Mengenlehre, die zu großen Kontroversen in der mathematischen
Welt führte. Einige Mathematiker hielten sich an Kronecker, doch andere folgten Cantors
Weg. So führte etwa Giuseppe Peano (1858–1932), nach seinem berühmten Satz über Differentialgleichungen
(1886) und der ersten Definition eines Vektorraumes (1888) und vor
seinen berühmten Peano-Kurven (1890), neben der Axiomatisierung der natürlichen Zahlen
1889 auch das Zeichen ∈ in die Mengenlehre ein.
Im Jahr 1897 fand Cesare Burali-Forti (1861-1931) das erste Paradoxon in der Mengenlehre,
obwohl es durch eine fehlerhaft verstandene Definition des Begriffes ”
wohlgeordnete
Menge“ entwertet, wenn auch nicht ausgelöscht wurde. Interessanter Weise ereignete sich
der erste persönliche Erfolg für Cantor im selben Jahr auf einem Mathematiker-Kongress in
Zürich, wo sein Werk zum ersten Mal positiv aufgenommen, ja von manchen in höchsten
Tönen gepriesen wurde.
Nachdem Cantor selbst 1899 ein weiteres Paradoxon gefunden hatte, entdeckte schließlich
Bertrand Russell (1872-1970) im Jahre 1902 das ultimative Paradoxon (heute Russellsche
Antinomie ), das insbesondere wegen seiner Einfachheit die neuen Grundlagen der Mathematik
in ihren Grundfesten erschütterte. Russel betrachtete die Menge R aller Mengen, die sich
nicht selbst enthalten; nennen wir solche Mengen ”
vernünftig“. Die Frage ob R sich selbst
enthält, führt nun zu einem Widerspruch: Nehmen wir nämlich an, dass R ein Element von
R ist, so ist R keine ”
vernünftige“ Menge und kann daher nicht Element von R sein. Ist
andererseits R nicht Element von R, so ist R eine ”
vernünftige“ Menge und es muss gelten,
dass R Element von R ist.
Zu diesem Zeitpunkt hatte sich die Mengenlehre allerdings schon durchgesetzt. Sowohl
die Analysis baute darauf auf als auch Teile der Algebra. Die Maßtheorie und das mengentheoretische
Integral waren 1901 bzw. 1902 von Henri Lebesgue (1875–1941) erfunden
worden. Daher wurde die Mengenlehre nicht gleich wieder verworfen, sondern es begann eine
fieberhafte Suche nach einer ”
Rettung“ der Mengenlehre ohne ihre wichtigsten Eigenschaften
aufgeben zu müssen.
Russell selbst versuchte, sein Paradoxon aus der Mathematik ”
wegzudefinieren“. In seinem
sehr einflussreichen Werk Principia Mathematica, das er gemeinsam mit Alfred Whitehead
(1861–1947) in den Jahren 1910–1913 veröffentlichte, stellte er eine Lösung mit Hilfe
der Theory of types vor, doch diese wurde von den meisten nicht als befriedigend erachtet.