Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

18 2. GRUNDLAGEN
Induktionsanfang: Sei n = 1. Es gilt ∑ 1
k=1 (2k − 1) = 1 = 12 . (Wie gesagt, der
Induktionsanfang ist meist leicht.)
Induktionsannahme: Es sei die Behauptung für n bereits bewiesen, also
n∑
(2k − 1) = n 2 .
k=1
Induktionsschritt: Wir müssen nun die Behauptung für n + 1 zeigen, also
∑n+1
(2k − 1) = (n + 1) 2
k=1
beweisen. Beginnen wir den Beweis mit der linken Seite
∑n+1
n∑
(2k − 1) = (2k − 1) + 2n + 1.
k=1
k=1
Für diese Umformung haben wir einfach die Definition des Summensymbols Σ verwendet
und den letzten Term explizit aufgeschrieben. Durch diesen Trick (ein Standardtrick
in Induktionsbeweisen) haben wir auf der rechten Seite einen Term (den
Summenausdruck) erzeugt, der in der Induktionsannahme vorkommt. Wir können
also die Induktionsannahme einsetzen und erhalten
n∑
(2k − 1) + 2n + 1 = n 2 + 2n + 1.
k=1
Die rechte Seite ist ein vollständiges Quadrat, und daher können wir fertig umformen
n 2 + 2n + 1 = (n + 1) 2 ,
und wir haben den Induktionsschritt beendet.
Damit ist alles bewiesen — in einem Schritt für unendlich viele, ja für alle, natürlichen
Zahlen.
□
Als ein komplexeres Beispiel für die Anwendung der vollständigen Induktion zum Beweis
einer wichtigen mathematischen Tatsache behandeln wir im folgenden Abschnitt den
binomischen Lehrsatz.
2.5.1. Der binomische Lehrsatz. Der binomische Lehrsatz dient der Auflösung von
Potenzen der Form (a + b) n in eine Summe von Produkten. Er lautet:
n∑
( n
(a + b) n = a
k)
k b n−k .
k=0
Er begründet sich durch folgende Überlegung: Beim Ausmultiplizieren von n gleichen Binomen
(a + b) wird für jedes Produkt aus jedem Binom entweder ein a oder ein b verwendet.
Somit entstehen Produkte der Formen a n b 0 , a n−1 b 1 , . . .,a 1 b n−1 , a 0 b n . Die entstehenden Produkte
werden additiv verknüpft, bleibt also nur noch die Frage, welche Produkte wie oft
entstehen. Diese Frage nach dem Koeffizienten wird im binomischen Lehrsatz mit ( n
k)
beantwortet.
Weil er der Koeffizient in der Entwicklung der Potenz eines Binoms (a + b) ist,
heißt er Binomialkoeffizient.
Die mathematische Disziplin, die sich unter anderem mit dem Abzählen von Objekten
beschäftigt, ist die Kombinatorik. Dort besteht eine übliche Lösungsmethode darin, ein
Problem durch ein äquivalentes Problem zu ersetzen (die Äquivalenz ist oft schwierig zu
zeigen), welches leichter zu lösen ist. Ein im Zusammenhang mit Binomialkoeffizienten stets
zitiertes äquivalentes Problem ist das Pascalsche Dreieck. Es folgt nachstehenden Regeln: