Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

72 5. GRUNDLEGENDE ALGEBRA
Definition 5.1.2 (Gruppoid, algebraische Struktur). Sei G eine nichtleere Menge.
(i) Eine Verknüpfung auf G ist eine Abbildung
◦ : G × G → G.
An Stelle von ◦(g, h) für zwei Elemente g, h ∈ M schreiben wir g◦h, und wir nennen
das Bild von (g, h) das Ergebnis der Verknüpfung.
(ii) Wenn wir die Menge G zusammen mit der Verknüpfung ◦ untersuchen, so schreiben
wir meist (G, ◦) und nennen sie Gruppoid oder algebraische Struktur (oder
Magma). In diesem Zusammenhang nennen wir G auch Grundmenge.
Es sind also alle im Beispiele 5.1.1 betrachteten Mengen mit den entsprechenden Abbildungen
Gruppoide.
Die Stärke, die in dieser und ähnlichen Definitionen von Strukturen liegt, ist dass man
die Eigenschaften der Struktur und Konsequenzen aus diesen Eigenschaften unabhängig vom
tatsächlichen Beispiel untersuchen kann. Die Ergebnisse dieser Untersuchung lassen sich dann
auf alle zu dieser Struktur passenden Beispiele anwenden und erlauben es dadurch auf sehr
elegantem Wege neue Erkenntnissen über die Beispiele zu gewinnen.
Verknüpfungen von Elementen werden meist mit Symbolen bezeichnet. Typische Symbole
sind ◦, +, ·, ∗, ⊕, ⊗, ⊡, ⊛,...
Betrachten wir Mengen mit mehr als einer Verknüpfung, so nehmen wir auch die anderen
Verknüpfungssymbole in die Bezeichnung auf, z.B. (B, ∧, ∨).
Wird die Verknüpfung mit ◦ oder mit · bezeichnet, so lässt man das Verknüpfungssymbol
meist weg, sofern keine Mehrdeutigkeiten bestehen. Man schreibt dann statt g ◦h einfach gh.
Kommen ◦ und · vor, so lässt man (meist) · weg. Z.B. schreibt man (g ◦ h)k statt (g ◦ h) · k.
Falsch wäre (gh) · k.
Alle Strukturen, die wir in diesem Abschnitt kennen lernen werden bauen aufeinander
und insbesondere auf Definition 5.1.2 auf.
Je mehr Eigenschaften eine Struktur aufweist, um so spezieller ist sie. Umgekehrt kann
man aus einer spezielleren Struktur immer eine allgemeinere machen, indem man die Eigenschaften,
die ”
zuviel“ sind, einfach vergisst. So ist etwa jede Gruppe (siehe Definition 5.2.18)
auch eine Halbgruppe (siehe Definition 5.2.2). Die Abbildung 5.2 gibt ein grobes Diagramm
der Strukturhierarchie wie wir sie in diesem Abschnitt kennen lernen werden. In dieser Abbildung
sehen wir, dass zusätzlich geforderte Eigenschaften, jeweils angedeutet durch ein
Rechteck, die Menge der passenden Strukturen einschränken. Es gilt aber immer, dass speziellere
Strukturen eben speziellere Varianten von weniger speziellen (d.h. allgemeineren)
Strukturen sind. So ist, wie in diesem Bild zu sehen ist, jeder Körper auch ein Ring und
jeder Ring auch eine kommutative Gruppe und erst recht ein Gruppoid.
5.2. Gruppen
In diesem Abschnitt wollen wir uns zunächst auf Mengen zusammen mit einer Verknüpfung
beschränken.
Beispiel 5.2.1 (Assoziativität).
(W, ◦): Sei (W, ◦) die Menge aller Hauptwörter der deutschen Sprache mit dem Hintereinandersetzen
als Verknüpfung. Man kann natürlich auch zusammengesetzte Hauptwörter
mit weiteren Wörtern verknüpfen und dadurch längere (mehrfach) zusammengesetzte
Hauptwörter konstruieren. Dampf“ und Schiffskapitän“ liefern etwa
” ”
” Dampfschiffskapitän“. Wenig überraschend setzen sich auch Dampfschiff“ und
”
” Kapitän“ zu Dampfschiffskapitän“ zusammen. Wir sehen also, dass das Ergebnis
beim Hintereinandersetzen von Dampf“, Schiff“ und Kapitän“ das Wort
” ”
”
”