Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

(K1) Seien a, b, c ∈É×É. Wir finden
5.4. KÖRPER 93
(a + b) + c = ( (a 1 , a 2 ) + (b 1 , b 2 ) ) + (c 1 , c 2 ) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 ) + (c 1 , c 2 ) =
= (a 1 + b 1 + c 1 , a 2 + b 2 + c 2 ) = (a 1 , a 2 ) + (b 1 + c 1 , b 2 + c 2 ) =
= (a 1 , a 2 ) + ( (b 1 , b 2 ) + (c 1 , c 2 ) ) = a + (b + c).
(K2) Nehmen wir beliebige a, b ∈É×É. Es gilt
(K3) Für 0 := (0, 0) ∈É×Égilt
a + b = (a 1 , a 2 ) + (b 1 , b 2 ) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 ) =
= (b 1 + a 1 , b 2 + a 2 ) = (b 1 , b 2 ) + (a 1 , a 2 ) = b + a.
a + 0 = (a 1 , a 2 ) + (0, 0) = (a 1 + 0, a 2 + 0) = (a 1 , a 2 ) = a.
(K4) Sei a ∈É×Égegeben. Wir definieren −a := (−a 1 , −a 2 ) ∈É×Éund berechnen
a + (−a) = (a 1 , a 2 ) + (−a 1 , −a 2 ) = (a 1 + (−a 1 ), a 2 + (−a 2 )) = (0, 0) = 0.
(K5) Für alle a, b, c ∈É×Éfolgt
(ab)c = ( (a 1 , a 2 )(b 1 , b 2 ) ) (c 1 , c 2 ) = (a 1 b 1 + 2a 2 b 2 , a 1 b 2 + a 2 b 1 )(c 1 , c 2 ) =
= ( (a 1 b 1 + 2a 2 b 2 )c 1 + 2(a 1 b 2 + a 2 b 1 )c 2 , (a 1 b 1 + 2a 2 b 2 )c 2 + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )c 1
)
=
= ( a 1 b 1 c 1 + 2a 2 b 2 c 1 + 2a 1 b 2 c 2 + 2a 2 b 1 c 2 , a 1 b 1 c 2 + a 1 b 2 c 1 + a 2 b 1 c 1 + 2a 2 b 2 c 2
)
=
= ( a 1 (b 1 c 1 + 2b 2 c 2 ) + 2a 2 (b 1 c 2 + b 2 c 1 ), a 1 (b 1 c 2 + b 2 c 1 ) + a 2 (b 1 c 1 + 2b 2 c 2 ) ) =
= (a 1 , a 2 )(b 1 c 1 + 2b 2 c 2 , b 1 c 2 + b 2 c 1 ) =
= (a 1 , a 2 ) ( (b 1 , b 2 )(c 1 , c 2 ) ) = a(bc).
(K6) Es seien wieder a, b ∈É×É. Wir rechnen nach:
ab = (a 1 , a 2 )(b 1 , b 2 ) = (a 1 b 1 + 2a 2 b 2 , a 1 b 2 + a 2 b 1 ) =
= (b 1 a 1 + 2b 2 a 2 , b 1 a 2 + b 2 a 1 ) = (b 1 , b 2 )(a 1 , a 2 ) = ba.
(K7) Wir definieren 1 := (1, 0) ∈É×É. Klarerweise gilt 0 ≠ 1, und außerdem für
a ∈É×Éa1 = (a 1 , a 2 )(1, 0) = (a 1 1 + 0, 0 + a 2 1) = (a 1 , a 2 ) = a.
(
(K8) Sei 0 ≠ a ∈É×Égegeben. Wir definieren a −1 :=
a 1
a 2 1 −2a2 2
,
)
−a 2
. Es gilt a −1 ist
a 2 1 −2a2 2
für alle a ≠ 0 definiert. Zu diesem Zweck muss a 2 1 − 2a 2 2 ≠ 0 gelten. Das folgende
Argument beweist das: Sei a 2 1 = 2a2 2 . Dann gilt auch, falls a 2 ≠ 0 stimmt, dass
(a 1 /a 2 ) 2 = 2. Die linke Seite dieser Gleichung ist das Quadrat einer rationale Zahl.
Das Quadrat einer rationalen Zahl kann aber niemals gleich 2 sein, da andernfalls
√
2 rational wäre. Folglich ist a2 = 0. Dann haben wir aber auch a 1 = 0 und damit
a = 0, was wir ausgeschlossen haben.
Es ist a −1 also für alle a ≠ 0 definiert. Nun können wir rechnen
aa −1 = (a 1 , a 2 )(a 1 /(a 2 1 − 2a2 2 ), −a 2/(a 2 1 − 2a2 2 )) =
= ( (a 2 1 − 2a 2 2)/(a 2 1 − 2a 2 2), 0 ) = (1, 0) = 1.