Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

10 2. GRUNDLAGEN
Beispiel 2.2.1 (Matrizen). Wir ordnen die Zahlen 1, 2, . . ., 20 in einer Matrix, also
einem rechteckigen Schema von Zahlen, wie folgt an. Dabei bezeichnen wir die Matrix mit
A.
⎛
⎞
1 2 3 4 5
A = ⎜ 6 7 8 9 10
⎟
⎝11 12 13 14 15⎠
16 17 18 19 20
Mit Hilfe eines Doppelindex können wir die einzelnen Einträge der Matrix bezeichnen, wobei
allgemein die Konvention gilt, dass der erste Index die Zeile bezeichnet, der zweite die Spalte
(Merkregel: Zeile zuerst; Spalte später). So haben wir z.B. für den Eintrag in der 2. Zeile in
der 3. Spalte A 23 = 8 und für den 1. Eintrag in der 3. Zeile A 31 = 11.
Wir können sogar die gesamte Matrix A über ihre Elemente mit Hilfe der Indizes definieren,
indem wir schreiben
A ij = 5i + j − 5, i = 1, . . .,4, j = 1, . . ., 5.
Oft werden die Einträge von Matrizen auch mit kleinen Buchstaben bezeichnet, also die
Einträge der Matrix A mit a ij .
Bei Umformungen von Ausdrücken sind Indizes ”
in Schachteln verpackt“. Das bedeutet,
dass man sie nicht ”
wegkürzen“ oder ähnliches kann. Zusätzlich werden Doppelindizes durch
Beistriche getrennt, wenn immer das zur leichteren Lesbarkeit beiträgt. Zur Illustration seien
einige richtige und einige falsche Beispiele angegeben.
A i+1+3·5,j = A i+16,j
f i − 1 ≠ f i−1
B s B s = B 2 s ≠ B s 2
B s
s ≠ B
2.3. Summen, Produkte — Zeichen
In der Mathematik untersucht man häufig Summen, in denen die Anzahl der Terme nicht
a priori fest steht. So hat etwa ein allgemeines Polynom n–ten Grades (für ein beliebiges n
inÆ) die Form
p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n
mit n+1 Termen, die aufsummiert werden. Um die Schreibweise von den Punkten (+ . . .+)
zu befreien, verwendet man das Summenzeichen. Dieses erlaubt es eine mehrfache Addition
ähnlicher Ausdrücke vereinfacht darzustellen. So kann man mit Hilfe des Summenzeichens
Σ das Polynom im oberen Beispiel schreiben als
n∑
p(x) = a i x i . (2.1)
Genauer betrachtet besteht der allgemeine Summenausdruck mit dem Summenzeichen aus
vier verschiedenen Termen.
i=0
• Es gibt es eine Laufvariable, den Summationsindex, in unserem Beispiel i.
• Diese Variable nimmt alle ganzen Zahlen beginnend mit der unteren Grenze, im
Beispiel 0,
• bis zur oberen Grenze, in Gleichung (2.1) ist sie n, in Einserschritten an.