Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

5.2. GRUPPEN 77
— meist jedenfalls. Hätte nämlich der amerikanische Physiker George Zweig die kleinen Teilchen,
aus denen die Elementarteilchen aufgebaut sind, nicht Aces genannt, so wäre heute
sein Name berühmt und nicht der Name Murray Gell-Mann, der zur selben Zeit wie Zweig
die Theorie der Quarks entdeckt aber den erfolgreicheren Namen gewählt hat.
Beispiel 5.2.11 (Kommutativität). Wenn wir die Verknüpfungen untersuchen, die wir
seit Beispiel 5.1.1 betrachten, dann fällt an manchen eine weitere Besonderheit auf.
(Æ, +), . . .,(Ê, ·): Am ehesten offensichtlich ist es bei den Zahlenmengen. In allen Beispielen
von (Æ, +) bis (Ê, ·) kann man erkennen, dass es beim Addieren und Multiplizieren
auf die Reihenfolge der Operanden nicht ankommt. Jeder ”
weiß“, dass
etwa 4 + 5 = 5 + 4 und 3 · 6 = 6 · 3 gelten.
(T, ◦): Die Translationen T haben ebenfalls diese Eigenschaft. Egal welche von zwei
Translationen zuerst durchgeführt wird, das verschobene Objekt wird am selben Platz
landen.
(D, ◦): Drehungen sind allerdings anders: Legen wir das Koordinatenkreuz so, dass
Ursprung und Schwerpunkt des zu drehenden Objektes zusammen fallen. Drehen
wir zuerst um 90 ◦ um die x 1 –Achse und danach um 90 ◦ um die x 3 –Achse, so ergibt
das eine Gesamtdrehung um die Achse, die durch den Punkt (1, −1, 1) geht, um den
Winkel 120 ◦ . Vertauscht man die beiden Drehungen, dann ergibt sich eine Gesamtdrehung
um die Achse durch den Punkt (1, 1, 1) wieder um den Winkel 120 ◦ . Die
Reihenfolge, in der Drehungen ausgeführt werden, ist also wesentlich.
(Abb(M), ◦): Auch bei der Verknüpfung (allgemeiner) Abbildungen darf man nicht
einfach die Reihenfolge vertauschen. Sind etwa f :Ê→Ê, f : x ↦→ x 2 und
g :Ê→Ê, g : x ↦→ −x gegeben. Dann gilt f ◦ g : x ↦→ x 2 , aber g ◦ f : x ↦→ −x 2 .
(M 2 (Ê), +): Bei der Addition von 2 × 2–Matrizen darf man die Terme vertauschen.
Das folgt trivialerweise aus der Tatsache, dass die Addition komponentenweise definiert
ist.
(M 2 (Ê), ·): Die Multiplikation in M 2 (Ê) ist da schon problematischer. Es gilt etwa
( ) ( )
1 2 1 1
A := , B :=
0 3
−1 2
( ) ( )
−1 5 1 5
AB = , BA =
−3 6
−1 4
Das Ergebnis der Multiplikation reeller 2 × 2–Matrizen hängt also von der Reihenfolge
der beiden Faktoren ab.
(S, ◦): Das Ergebnis der Verknüpfung von Strichblöcken S ist wieder unabhängig von
der Reihenfolgen der Operanden.
(W, ◦): Bei Worten macht es dagegen einen Unterschied. ”
Dampfschiff“ hat eine gänzlich
andere Bedeutung als ”
Schiffsdampf“.
Wir sehen also, dass manchmal die Operanden einer Verknüpfung vertauscht werden
dürfen ohne das Ergebnis zu ändern, manchmal aber aber nicht. Jetzt fehlt nur noch der
Name für diese Eigenschaft.
Definition 5.2.12 (Kommutativgesetz). Eine Verknüpfung in einem Gruppoid (G, ◦)
heißt kommutativ, falls das Kommutativgesetz erfüllt ist, d.h.
(KG) ∀g, h ∈ G : g ◦ h = h ◦ g.