Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

3.2. AUSSAGEN, LOGIK 37
Im Zusammenhang mit Implikationen tauchen in mathematischen Texten oft die die
Wörter notwendig und hinreichend auf. Wenn A und B Aussagen sind und A ⇒ B gilt,
so heißt A hinreichend für B, und B heißt notwendig für A. Lernen Sie das auswendig und
versuchen Sie nicht die Bedeutung zu hinterfragen. Beispiele sind:
• Notwendig dafür, dass eine Zahl n > 2 eine Primzahl ist, ist, dass sie ungerade ist.
• Hinreichend für die Stetigkeit einer Funktion ist ihre Differenzierbarkeit.
Nun zu dann, wenn und nur dann, wenn:
• ”
A gilt dann, wenn B gilt“ bedeutet: A ⇐ B.
• ”
A gilt nur dann, wenn B gilt“ heißt hingegen A ⇒ B.
Um ein Beispiel für letztere Formulierung zu geben, betrachten wir die Aussagen: A sei
” Ein neuer Papst wird gewählt.“, B sei Der alte Papst ist gestorben.“. Die Formulierung
”
Ein neuer Papst wird nur dann gewählt, wenn der alte gestorben ist“ entspricht dann
”
der Folgerung A ⇒ B. Wenn wir den Satz umdrehen, so ergibt das die Aussage Wenn ein ”
neuer Papst gewählt wird, dann ist der alte jedenfalls gestorben.“ Seien Sie in jedem Fall
vorsichtig, wenn Sie die Formulierungen mit dann und wenn benutzen.
3.2.2.2. Die Äquivalenz (⇔). Eine zweite Klasse von Sätzen der Mathematik hat
die logische Äquivalenz (die Operation ⇔) als Grundlage. Eine leichte Rechnung mit den
Wahrheitstabellen ergibt a ⇔ b = (a ⇒ b) ∧ (b ⇒ a).
Die typische Aussage eines Äquivalenzsatzes sieht so aus
Theorem 3.2.5. Resultat 1 gilt genau dann, wenn Resultat 2 gilt.
Auch an Stelle der Standardaussage ”
das gilt genau dann, wenn“ haben sich einige andere
Formulierungen eingebürgert.
• das ist äquivalent zu; dies ist gleichbedeutend mit; dies ist gleichwertig mit;
die beiden Aussagen gehen auseinander hervor; dies ist notwendig und hinreichend
für; dann und nur dann...
Die übrigen Hinweise, wie Aufwandsangabe und Erwähnung der Begründung, die wir bei
den Implikationen schon besprochen haben, gelten natürlich auch für Äquivalenzen.
Äquivalenzen kommen in der Mathematik sehr häufig vor. Die Äquivalenz zweier Aussagen
A und B beweist man dabei so wie es von der obigen Formel suggeriert wird. Man weist
die Gültigkeit von A ⇒ B nach und auch die der umgekehrten Richtung B ⇒ A.
WICHTIG: Der Beweis einer Äquivalenz ist erst dann vollendet, wenn beide Implikationsrichtungen
gezeigt sind. Um dies zu verdeutlichen betrachten wir die folgende Aussage.
Proposition 3.2.6 (Quadrate gerader Zahlen — die Zweite). Eine Zahl ist genau dann
gerade, wenn ihr Quadrat gerade ist.
Beweis. Umformuliert bedeutet die Aussage für eine beliebige ganze Zahl n
n gerade ⇔ n 2 gerade .
Wir müssen also beide Implikationen beweisen und beginnen mit der ”
Hinrichtung“.
⇒: Diese Implikation ist aber genau die Aussage von Proposition 2.1.1, sodass wir nichts
mehr zu beweisen haben.
Es bleibt uns die ”
Rückrichtung“ zu zeigen.
⇐: Genauer ist zu zeigen n 2 gerade ⇒ n gerade.
Das beweisen wir indirekt. Sei also n ungerade, d.h. n = 2k + 1 für eine ganze Zahl k. Dann
ist n 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 und n 2 somit ungerade.