Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

114 6. ZAHLENMENGEN
(1) Die erste Behauptung folgt sofort aus der Definition des Betrags und Proposition
6.3.2(2). Die ”
Rückrichtung“ der zweiten Behauptung folgt sofort aus der Definition
und die ”
Hinrichtung“ aus der Tatsache, dass wiederum wegen der Definition
des Betrags aus x ≠ 0 folgt, dass |x| ≠ 0.
(2) Folgt mittels Fallunterscheidung oder mittels der Aussage
a ≤ b und − a ≤ b ⇒ |a| ≤ b (6.11)
(die ebenfalls unmittelbar aus Definition 6.4.8(i) folgt). Denn aus Addition der offensichtlichen
Ungleichungen x ≤ |x|, −x ≤ |x| sowie y ≤ |y|, −y ≤ |y| folgt
x + y ≤ |x| + |y| und − x − y ≤ |x| + |y|,
was mittels (6.11) die Behauptung ergibt.
(3) Folgt ebenfalls mittels Fallunterscheidung.
(4) Ergibt sich sofort aus (1).
(5) Wegen der Dreiecksungleichung für den Betrag gilt
|x − z| = |(x − y) + (y − z)| ≤ |x − y| + |y − z|.
6.4.1. Die mengentheoretische Konstruktion vonÊ. Das einzige, das uns noch
fehlt in unserer Untersuchung über die reellen Zahlen ist der Beweis von Theorem 6.4.4.
Wir werden diesen gesamten Abschnitt dafür opfern undÊausÉdurch mengentheoretische
Mechanismen konstruieren. Zu diesem Zweck werden wir die von Dedekind erfundenen
Schnitte verwenden. Es gibt viele äquivalente Verfahren zur Konstruktion vonÊausÉ. Die
Dedekindschen Schnitte sind nicht die einleuchtendste Methode aber jedenfalls diejenige, die
nur Mengenoperationen verwendet.
∩É
Definition 6.4.10. Eine nichtleere nach unten beschränkte Teilmenge S ⊆Éheißt
Schnitt (vonÉ), falls
(S1) ∀q ∈É\S : ∀s ∈ S : s ≥ q, und
(S2) ∀s ∈ S : ∃s ′ ∈ S : s > s ′ .
Motivierend kann man erklären, dass ein Schnitt ein halboffenes Intervall ] a, +∞ [
mit a ∈Êist. Noch dürfen wir das allerdings nicht sagen.
Proposition 6.4.11.
(1) Sei S ein Schnitt. Es gilt
∀S ∈ s : ∀q ∈É:(s ≤ q ⇒ q ∈ S).
Ist also eine rationale Zahl größer als ein Element des Schnittes, dann liegt sie im
Schnitt.
(2) Zu jeder positiven rationalen Zahl ε gibt es q, r ∈Émit q ∈ S, r ∈É\S und
q − r ≤ ε.
Beweis.
(1) Seien s ∈ S und q ∈Émit s ≤ q. Ist q /∈ S, dann liegt natürlich q ∈É\S und
daher gilt ∀s ′ ∈ S : s ′ ≥ q. Daher ist auch s ≥ q, und weil ≤ eine Ordnungsrelation
ist, folgt s = q. Das ist ein Widerspruch zu q /∈ S. Daher ist q ∈ S, und wir sind
fertig.
(2) Sei 0 < ε ∈É. Weil S ein Schnitt ist, gibt es q ∈ S und r ∈É\S. Ist q − r ≤ ε,
dann sind wir fertig. Andernfalls sei n ∈Æso groß, dass n > q−r gilt. Solch ein n
ε
existiert wegen Proposition 6.3.3. Wir bilden nun die Menge
M := {r + k q−r
n
| k ∈ {0, . . ., n}} ⊆É.
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