Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

4.1. NAIVE MENGENLEHRE 47
Leider wird in manchen mathematischen Texten das Symbol ⊂ für Teilmenge verwendet
und nicht für echte Teilmenge, wie wir das oben definiert haben. Daher unser Tipp:
verwenden Sie in eigenen Texten immer ⊆ um Teilmengen und um echte Teilmengen zu
kennzeichnen. Finden Sie in einem Text ⊂, so ist es ratsam nach der Teilmengendefinition
zu suchen, um festzustellen, ob ⊂ für echte Teilmenge oder nur Teilmenge steht.
Die Teilmengenrelation entspricht, wie schon in der Definition explizit gemacht wurde,
der logischen Implikation (⇒) der Elementbeziehung. Daraus läßt sich auch sofort ableiten,
wie man Gleichheit von Mengen überprüfen kann.
Proposition 4.1.7 (Gleichheit von Mengen). Zwei Mengen A und B sind genau dann
gleich, wenn A ⊆ B und B ⊆ A gilt; formal
A = B ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A.
Beweis. Dieser Satz behauptet eine Äquivalenz und wir müssen wiederum beide Implikationsrichtungen
beweisen.
⇒: Zu zeigen ist, dass wenn A = B gilt, auch die beiden Enthalten-Relationen A ⊆ B und
B ⊆ A gelten. Dies ist aber trivial, da A ⊆ A für jede Menge stimmt.
⇐: Wir müssen zeigen, dass aus beiden Enthalten-Relationen schon die Gleichheit folgt. Es
gelte also A ⊆ B und B ⊆ A. Wegen A ⊆ B gilt x ∈ A ⇒ x ∈ B. Andererseits folgt aus
B ⊆ A, dass x ∈ B ⇒ x ∈ A gilt. Fassen wir die beiden Implikationen zusammen, erhalten
wir für beliebiges x den Zusammenhang x ∈ A ⇔ x ∈ B. Das wiederum bedeutet laut
Definition 4.1.3, dass A = B gilt.
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4.1.2. Mengenoperationen. Wenn man mehr als eine Menge betrachtet, so kann man
aus diesen Mengen weitere Mengen erzeugen. Die folgenden Mengenoperationen werden dabei
standardmäßig verwendet.
Definition 4.1.8 (Vereinigung).
(i) Seien zwei Mengen A und B gegeben. Wir konstruieren eine neue Menge aus allen
Elementen von A und B. Diese Menge heißt Vereinigungsmenge A ∪ B von A und
B, und in formalerer Schreibweise ist sie definiert als
A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Etwas anders ausgedrückt haben wir eine Operation ∪ für Paare von Mengen definiert
— die Vereinigung — die jedem Paar (A, B) von Mengen deren Vereinigungsmenge
A ∪ B zuordnet.
(ii) Man kann auch mehr als zwei Mengen vereinigen, sogar beliebig viele. Sei A i , i ∈ I
eine Familie von Mengen. Dann ist
⋃
A i := {x | ∃i ∈ I : x ∈ A i }
i∈I
die Vereinigung aller A i . Das bedeutet, wir nehmen alle x auf, die in wenigstens
einer der Mengen A i liegen. Die Indexmenge I kann dabei beliebig (groß) sein.
Beispiel 4.1.9. Es gelten:
• {1, 3, 6} ∪ {2, 6} = {1, 2, 3, 6},
• M ∪ ∅ = M,
• ⋃ n∈Æ{−n, n} =.