Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

68 4. MENGENLEHRE
Analog zum Prinzip der Allwissenheit könnte man das Axiom auch wie J. Cigler und H.C.
Reichel in [Cigler, Reichel 1987] als das Prinzip der Allmächtigkeit bezeichnen. Heute
akzeptiert ein überwiegender Teil der Mathematiker dieses Axiom auf Grund seiner Verwendbarkeit
und der Vielfalt praktischer Theoreme, die zu diesem Axiom äquivalent sind.
Zuvor wir das Axiom aber anführen benötigen wir eine weitere Abkürzung
Das zehnte Axiom, das Auswahlaxiom, ist
F ∩ G := {z ∈ F ∪ G | z ∈ F ∧ z ∈ G}.
(ZF10) ∀F : ( ∀H ∈ F : ¬(H = ∅) ∧ ∀F ∈ F : ∀G ∈ F : (F = G ∨ F ∩ G = ∅)
⇒ ∃S : ∀F ∈ F : ∃!s(s ∈ S ∧ s ∈ F) )
(Auswahl)
Es besagt, dass es zu jeder gegebenen Familie von nichtleeren, paarweise disjunkten Mengen
M i , i ∈ I eine weitere Menge gibt, die aus jedem M i genau ein Element enthält.
Diese axiomatische Einführung der Mengen ist natürlich nicht umfassend; im Rahmen
dieses Buchs können wir nur einen kurzen Einblick in die Fundamente der Mathematik geben.
Weiterführende Informationen finden Sie in Vorlesungen oder Büchern zu den Themenkreisen
” Grundbegriffe der Mathematik“ und Axiomatische Mengenlehre“.
”