Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

5.4. KÖRPER 89
( Beispiel ) 5.3.15. Die Abbildung ι :Ê→M 2 (Ê), die jeder reellen Zahl r die Matrix
r 0
zuordnet, ist ein Ringhomomorphismus von (Ê, +, ·) nach (M
0 r
2 (Ê), +, ·). Es gilt
nämlich
( ) ( ) ( )
r1 0 r2 0 r1 + r
ι(r 1 ) + ι(r 2 ) = + = 2 0
= ι(r
0 r 1 0 r 2 0 r 1 + r 1 + r 2 ),
2
sowie
ι(r 1 ) ι(r 2 ) =
( ) ( ) ( )
r1 0 r2 0 r1 r
= 2 0
= ι(r
0 r 1 0 r 2 0 r 1 r 1 r 2 ).
2
In diesem Beispiel können wir auch leicht sehen, dass die Inversion mit der Abbildung vertauscht
— es also egal ist ob zuerst abgebildet, dann Invertiert wird oder umgekehrt. (Allgemein
folgt dies ja aus Proposition 5.2.31.) Es gilt
( )
−r 0
ι(−r) = = −ι(r),
0 −r
und
ι(r −1 ) =
( )
r
−1
0
0 r −1 = ι(r) −1 .
Der Ringhomomorphismus ι ist sogar injektiv. ( Man)
sagt er bettetÊin die Menge der 2×2–
0 1
Matrizen ein. Er ist nicht surjektiv, da z.B. nicht im Bild vonÊliegt.
0 0
Dass ι nicht bijektiv sein kann, wissen wir schon aufgrund folgender Tatsache: Wäre ι
ein Ringisomoprhismus, so wärenÊund M 2 (Ê) aus Sicht der Ringtheorie ununterscheidbar.
Das kann aber nicht sein, daÊein Integritätsbereich ist und M 2 (Ê) nicht.
5.4. Körper
Jetzt sind wir beinahe am Ende unseres Weges angelangt. Die folgende speziellste Struktur
der Algebra für Mengen mit zwei Verknüpfungen spielt in der Mathematik eine herausragende
Rolle. Sie wird sowohl in der Analysis, als auch in der Linearen Algebra ein
wesentlicher Begleiter sein, und daher ist es wichtig, sich die Eigenschaften möglichst gut
einzuprägen.
Definition 5.4.1 (Körper). Ein Gruppoid (K, +, ·) mit den beiden Verknüpfungen +
und · heißt Körper, falls die folgenden Eigenschaften (die Körperaxiome) gelten.
(K1) ∀a, b, c ∈ K : (a + b) + c = a + (b + c) (Assoziativität von +),
(K2) ∀a, b ∈ K : a + b = b + a (Kommutativität von +),
(K3)
∃0 ∈ K : ∀a ∈ K : a + 0 = a (Nullelement),
(K4) ∀a ∈ K : ∃(−a) ∈ K : a + (−a) = 0 (Inverse bzgl. +),
(K5) ∀a, b, c ∈ K : (ab)c = a(bc) (Assoziativität von ·),
(K6) ∀a, b ∈ K : ab = ba (Kommutativität von ·),
(K7)
∃1 ∈ K : 1 ≠ 0 ∧ ∀a ∈ K \ {0} : a1 = a (Einselement),
(K8) ∀a ∈ K \ {0} : ∃a −1 ∈ K : aa −1 = 1 (Inverse bzgl. ·),
(K9)
∀a, b, c ∈ K : a(b + c) = ab + ac (Distributivität).
Bemerkung 5.4.2. Die Bedingungen (K1) bis (K4) machen (R, +, 0) zur abelschen
Gruppe und die Bedingungen (K5)–(K8) implizieren, dass (R \ {0}, ·) ebenfalls eine abelsche
Gruppe ist. Schließlich sorgt das Distributivgesetz (K9) (wegen der Kommutativität gilt