Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

5.2. GRUPPEN 79
(M 2 (Ê), +): In (M 2 (Ê), +) hat jede Matrix A ein Inverses, nämlich diejenige Matrix
−A, bei der man bei jedem Element von A das Vorzeichen gewechselt hat.
(M 2 (Ê), ·): Für (M 2 (Ê), ·) kann man beweisen (und das wird in der Linearen Algebra
auch getan!) dass eine Matrix A genau dann ein Inverses hat, wenn a 11 a 22 −a 12 a 21 ≠
0 gilt; diese A heißen invertierbar.
Wieder stehen wir vor der Frage, ob das Inverse zu einem Element, falls es überhaupt
existiert, eindeutig bestimmt ist oder ob mehr als ein (Links-, Rechts-) Inverses existieren
kann. Wieder beantwortet uns die Untersuchung der Struktureigenschaften die Frage für alle
Beispiele auf einmal.
Proposition 5.2.17 (Eindeutigkeit des Inversen). Sei (G, ◦, e) ein Monoid und g ∈ G.
(i) Existiert zu g ein Inverses g −1 , d.h. ∃g −1 ∈ G:
so ist g −1 eindeutig bestimmt.
(ii) Ist g −1
L
so ist g −1
L
g ◦ g −1 = g −1 ◦ g = e,
ein Linksinverses von g und g−1
R
g −1
L g = e = gg−1 R ,
= g−1 R =: g−1 und g −1 ist Inverses zu g.
ein Rechtsinverses von g, d.h. gilt
Beweis.
(i) Sei ˜g ein weiteres Inverses zu g, d.h. es gelte g ◦ ˜g = ˜g ◦g = e. Wir zeigen, dass dann
schon g −1 = ˜g gilt. Tatsächlich ist
(ii) Wir haben
˜g = ˜g ◦ e = ˜g ◦ (g ◦ g −1 ) = (˜g ◦ g) ◦ g −1 = e ◦ g −1 = g −1 .
g −1
L
Daher sind g −1
L
= g−1 L e = g−1 L (gg−1 R ) = (g−1 L g)g−1 R
= eg−1 R
= g−1 R .
und g−1
R
gleich und klarerweise ist g−1 := g −1
L
= g−1 R
Inverses zu g. □
Beachten Sie, dass wir im Beweis das Assoziativgesetz verwendet haben. Das ist in Ordnung,
da wir ja (G, ◦, e) als Monoid (also insbesondere als Halbgruppe) vorausgesetzt haben
und nicht bloß als Gruppoid mit Einselement!
Jetzt haben wir alle Eigenschaften zusammen gesammelt und benannt und können endlich
die Struktur definieren, auf die wir schon die ganze Zeit hinarbeiten.
Definition 5.2.18 (Gruppe). Sei (G, ◦) ein Gruppoid. Gelten die folgende Eigenschaften
(G1) Assoziativgesetz:
(G2) Einselement:
(G3) Inverse:
∀g, h, k ∈ G : (g ◦ h) ◦ k = g ◦ (h ◦ k),
∃e ∈ G : ∀g ∈ G : e ◦ g = g ◦ e = g,
∀g ∈ G : ∃g −1 ∈ G : g −1 ◦ g = g ◦ g −1 = e,
dann heißt (G, ◦) Gruppe. Gilt außerdem noch
(G4) Kommutativgesetz:
∀g, h ∈ G : g ◦ h = h ◦ g,
dann heißt G kommutative oder abelsche Gruppe (nach Nils Henrik Abel (1802–1829)).