Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

96 6. ZAHLENMENGEN
(PA2) Jeder natürlichen Zahl wird genau eine natürliche Zahl S(n) zugeordnet, die ihr
Nachfolger genannt wird, d.h.
(PA3) 0 ist kein Nachfolger, i.e.,
∀n ∈Æ:(S(n) ∈Æ),
∀n ∈Æ:¬(S(n) = 0),
(PA4) Sind zwei natürliche Zahlen verschieden, so sind das auch ihre Nachfolger, d.h.
∀n ∈Æ:∀m ∈Æ:(S(n) = S(m)) ⇒ n = m,
(PA5) Enthält eine Menge M natürlicher Zahlen die Zahl 0 und mit jeder Zahl ihren Nachfolger,
so ist M =Æ, genauer: Ist 0 ∈ A ⊆Æund gilt: n ∈ A ⇒ S(n) ∈ A, so gilt
schon A =Æ.
Das letzte Axiom postuliert übrigens das Induktionsprinzip. Ganz befriedigend ist diese
Beschreibung noch immer nicht, da wir ja gerne hätten, dass die MengeÆexistiert und
eindeutig bestimmt ist, d.h. dass es genau eine MengeÆgibt, die obigen Axiome erfüllt.
Das dem tatsächlich so ist, wird in Abschnitt 6.1.1 aus den ZFC Axiomen der Mengenlehre
bewiesen.
Auf der MengeÆsind die beiden Operationen +, die Addition und ·, die Multiplikation
definiert, wobei (N, +) eine kommutative Halbgruppe mit Nullelement 0 und (N, ·) eine
kommutative Halbgruppe mit Einselement 1 ist. (In der Sprache von Definition 5.3.3 istÆ
ein kommutativen Halbring mit 0 und 1 (ein Dioid) ohne Nullteiler (siehe Beispiel 5.3.4).)
Ferner ist eine Totalordnung (siehe Definition 4.2.14 (iii)) ≤ erklärt, die verträglich mit
den Verknüpfungen ist, d.h. es gelten die beiden Ordnungsaxiome
(O1) Ist a ≤ b, so ist für alle c ∈Æauch a + c ≤ b + c,
(O2) Sind x > 0 und y > 0, so ist xy > 0.
Die MengeÆist also ein geordnetes Dioid bezüglich Addition und Multiplikation. Sie ist
die kleinstmächtige unendliche Menge, und es gilt |Æ| = ℵ 0 (siehe Ende Kapitel 4).
6.1.1. Mengentheoretische Konstruktion vonÆ. Die Konstruktion der natürlichen
Zahlen aus ZFC (den Axiomen der Mengenlehre von Zermelo und Fraenkel) funktioniert
folgendermaßen.
Wir definieren
0 := ∅
1 := S(0) = 0 ∪ {0} = {∅}
2 := S(1) = 1 ∪ {1} = { ∅, {∅} }
3 := S(2) = 2 ∪ {2} =
{∅, {∅}, { ∅, {∅} }}
n :=
{
∅ n = 0
S(n) = n ∪ {n} n ≠ 0
Somit erhalten wir in Kurzform 0 = ∅, 1 = {0}, 2 = {0, 1} und allgemein n = {0, 1, . . ., n−1}.
Jede Zahl ist also identifiziert als die Menge, die alle kleineren Zahlen enthält.
So stellen wir uns das jedenfalls vor. Die Konstruktoren, die wir verwendet haben, sind
alle bereits definiert, und ZF7 garantiert uns, dass eine Menge existiert, die alle diese Zahlen
n enthält. Leider wissen wir zwei Dinge noch nicht, nämlich ob es eine Menge gibt die genau