Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

6.5. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN 123
AG(·): Seien (a 1 , a 2 ), (b 1 , b 2 ) und (c 1 , c 2 ) gegeben. Dann gilt
(a 1 , a 2 ) ( (b 1 , b 2 )(c 1 , c 2 ) ) =
= (a 1 , a 2 )(b 1 c 1 − b 2 c 2 , b 1 c 2 + b 2 c 1 )
= (a 1 b 1 c 1 − a 1 b 2 c 2 − a 2 b 1 c 2 − a 2 b 2 c 1 , a 1 b 1 c 2 + a 1 b 2 c 1 + a 2 b 1 c 1 − a 2 b 2 c 2 )
= (a 1 b 1 − a 2 b 2 , a 1 b 2 + a 2 b 1 )(c 1 , c 2 )
= ( (a 1 , a 2 )(b 1 , b 2 ) ) (c 1 , c 2 ).
KG(·): Dieses Gesetz folgt aus der Symmetrie der Definition von · und dem Kommutativgesetz
in (Ê, ·).
Einselement: Das Einselement ist (1, 0), eine sehr einfache Rechnung.
Inverse(·): Ist (a 1 , a 2 ) ≠ (0, 0), dann ist das Element
( )
a1 −a 2
a 2 1 + ,
a2 2 a 2 1 + a2 2
das Inverse zu (a 1 , a 2 ). Beachte, dass für reelle Zahlen a 1 und a 2 der Nenner a 2 1 + a2 2
nur dann verschwinden kann, wenn beide Zahlen gleich 0 sind. Das haben wir aber
ausgeschlossen. Es gilt
( ) (
a1 −a 2 a
2
(a 1 , a 2 ) , = 1 + a 2 2
, −a )
1a 2 + a 2 a 1
= (1, 0).
a 2 1 + a 2 2 a 2 1 + a 2 2 a 2 1 + a 2 2 a 2 1 + a 2 2
Distributivgesetz: Seien wiederum (a 1 , a 2 ), (b 1 , b 2 ) und (c 1 , c 2 ) gegeben. Dann gilt
wegen des Distributivgesetzes inÊ
(a 1 , a 2 ) ( (b 1 , b 2 ) + (c 1 , c 2 ) ) =
= ( a 1 (b 1 + c 1 ) − a 2 (b 2 + c 2 ), a 1 (b 2 + c 2 ) + a 2 (b 1 + c 1 ) )
= (a 1 b 1 − a 2 b 2 , a 1 b 2 + a 2 b 1 ) + (a 1 c 1 − a 2 c 2 , a 1 c 2 + a 2 c 1 ) =
= (a 1 , a 2 )(b 1 , b 2
:Ê→
) + (a 1 , a 2 )(c 1 , c 2 ).
□
Die reellen Zahlen sind ein Unterkörper von, wie man sieht, indem man die Abbildung
ι
r ↦→ (r, 0)
betrachtet. Diese Abbildung erlaubt es uns,Êderart als Teilmenge vonaufzufassen, dass
die vonererbten Operationen mit den ursprünglichenÊ-Operationen übereinstimmen.
Bleibt also nur, die Voraussetzungen von Proposition 5.4.10 nachprüfen. Tatsächlich genügen
einfache Rechnungen, (r, 0) + (s, 0) = (r + s, 0) und (r, 0)(s, 0) = (rs, 0) nachzuweisen und
weiters −(r, 0) = (−r, 0) sowie (r, 0) −1 = ( 1 , 0) zu zeigen. In Zukunft werden wir also die
r
reellen Zahlen mit den komplexen Elementen (r, 0) identifizieren und im weiteren wieder r
für diese Zahlen schreiben. Außerdem sehen wir, dass (r, 0)(a 1 , a 2 ) = (ra 1 , ra 2 ) gilt.
Interessant wird es nun, wenn wir die Eigenschaften anderer Elemente betrachten, z.B.
(0, 1)(0, 1) = (−1, 0),
und damit finden wir ineine Nullstelle des Polynoms x 2 + 1. Um die Schreibweise zu
vereinfachen, führen wir eine Abkürzung für (0, 1) ein, indem wir sagen
Definition 6.5.3 (Imaginäre Einheit). Es gelte die Bezeichnung
Wir nennen i die imaginäre Einheit.
i := (0, 1).