Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien
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1.1. HÜRDEN ZU STUDIENBEGINN 3<br />
verschachtelte Sätze sind schwer verständlich und lassen we<strong>der</strong> den Verfasser intelligenter<br />
wirken noch den Text glaubwürdiger werden.<br />
Je<strong>der</strong> Satz, den Sie schreiben, muss (zumindest <strong>für</strong> Sie) einen Sinn haben:<br />
Vermeiden Sie, durch übertriebene Symbolsetzung und logische Formalismen Ihre Aussagen<br />
so zu verschlüsseln, dass am Ende nicht einmal Sie selbst auf Anhieb ihren Inhalt verstehen.<br />
Schließlich die wichtigste Regel: Brechen Sie ruhig alle in diesem Skriptum vorgestellten<br />
Regeln, wenn Sie sich durch sie eingeengt fühlen, und wenn Sie wissen, was Sie tun.<br />
1.1.3. Q.E.D.“ — Beweise. Seit Euklid im dritten Jahrhun<strong>der</strong>t vor Christus seine<br />
”<br />
Elemente geschaffen hat, in <strong>der</strong> er die gesamte damals bek<strong>an</strong>nte <strong>Mathematik</strong> zusammengefasst<br />
hat, ist die logische Struktur, das Fundament <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>, auf Beweisen errichtet.<br />
Auf diese Weise wird sichergestellt, dass in <strong>der</strong> mathematischen Welt die gemachten<br />
Aussagen rein logisch nachgewiesen o<strong>der</strong> wi<strong>der</strong>legt werden können. Sie müssen nicht durch<br />
” Experimente“ o<strong>der</strong> Expertengutachten“ gestützt werden. Auch <strong>der</strong> in vielen Wissenschaften<br />
wohlbek<strong>an</strong>nte philosophische Kampf zwischen verschiedenen Schulen und Lehrmeinun-<br />
”<br />
gen findet in <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong> nicht statt, o<strong>der</strong> beschränkt sich zumindest darauf, ob ein<br />
bestimmtes Gebiet interess<strong>an</strong>t bzw. mo<strong>der</strong>n ist o<strong>der</strong> eben nicht.<br />
Das Beweisen ist <strong>für</strong> Studien<strong>an</strong>fängerInnen ungewohnt, die aus <strong>der</strong> Schule gewöhnt sind,<br />
die Aussagen <strong>der</strong> LehrerInnen aufzunehmen und die vorgestellten Methoden nachzuvollziehen.<br />
Es ist in <strong>der</strong> Schule unökonomisch, alle Aussagen <strong>der</strong> Lehrenden zu hinterfragen. Auf<br />
<strong>der</strong> <strong>Universität</strong> wird dies <strong>an</strong><strong>der</strong>s. Grundsätzlich sollte m<strong>an</strong> scheinbar sein gesamtes Vorwissen<br />
hinter sich lassen und sich von neuem von den bisher geglaubten Tatsachen überzeugen<br />
(lassen).<br />
Ein großer Fehler von Studien<strong>an</strong>fängerInnen besteht darin, bei Übungsaufgaben von bis<br />
dahin unbewiesenen Tatsachen auszugehen und Beispiele o<strong>der</strong> Beweise dadurch fälschlicherweise<br />
abzukürzen o<strong>der</strong> gar zu ver<strong>der</strong>ben. Darum<br />
Unterscheiden Sie im Rahmen eines Beweises o<strong>der</strong> einer Übungsaufgabe<br />
immer genau zwischen den Resultaten, die sie verwenden<br />
dürfen und denen die Sie kennen, o<strong>der</strong> zu kennen glauben.<br />
Das scheint nur auf den ersten Blick sinnlos. In Wahrheit wird damit ein zweifacher<br />
Zweck verfolgt. Zum einen wird <strong>der</strong> Blick da<strong>für</strong> geschult, keine ”<br />
Lücken im mathematischen<br />
Gebäude“ zu hinterlassen; oft ist das <strong>der</strong> Sinn hinter einer scheinbar einfachen Übungsaufgabe.<br />
Zum <strong>an</strong><strong>der</strong>en wird darauf vorbereitet, auch Beweise in mathematischen Strukturen zu<br />
finden, die ärmer <strong>an</strong> Eigenschaften sind und <strong>für</strong> die m<strong>an</strong>che Resultate nicht gelten.<br />
Zuletzt noch einige sprachliche Hinweise:<br />
Stellen Sie ihre Beweise sorgfältig dar. Dadurch vermeiden Sie es, Lücken in <strong>der</strong><br />
Kette logischer Schlüsse zu übersehen. Wesentlich bei <strong>der</strong> Erstellung von Beweisen ist eine<br />
sinnvolle Glie<strong>der</strong>ung und sinnvolle Unterglie<strong>der</strong>ungen.<br />
Beachten Sie beim Beweisen zu Beginn die folgenden Prinzipien:<br />
Sagen Sie, was Sie beweisen. Stellen Sie <strong>an</strong> je<strong>der</strong> Stelle im Beweis sicher, dass die<br />
Hörerin o<strong>der</strong> <strong>der</strong> Leser genau weiß, welche Teilbehauptung Sie gerade untersuchen. Folgen<br />
Sie dem folgenden Grundprinzip:<br />
Sagen Sie immer, was Sie als nächstes vorhaben, führen Sie es<br />
durch, und sagen Sie d<strong>an</strong>ach, dass Sie es get<strong>an</strong> haben.<br />
Es empfiehlt sich auch, zu Beginn die zu beweisende Aussage in mathematische Form zu<br />
übersetzen.