Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

14 2. GRUNDLAGEN
Werden Umformungen durchführt und soll ausdrückt werden, dass sie in beide Richtungen
stimmen, so muss dies durch explizites Setzen von Äquivalenzpfeilen (⇔) angezeigt
werden.
Beispiel 2.4.2. In Beispiel 2.4.1 folgen in Wahrheit die oberen Gleichungen auch aus
den unteren, d.h. sie sind wirklich alle äquivalent. Um das zu unterstreichen, wollen wir
daher
3r 2 + 4r + 5 = −r 3 + r + 4 | + r 3 − r − 4 ⇔
r 3 + 3r 2 + 3r + 1 = 0
⇔
(r + 1) 3 = 0 | √ 3 ⇔
r + 1 = 0 | − 1 ⇔
r = −1
schreiben.
Auch bei Schlüssen von unten nach oben in einer Umformung müsste die Implikationsrichtung
durch Setzen des entsprechenden Pfeils (⇐) angegeben werden. Schlüsse von
unten nach oben gelten nicht als guter mathematischer Stil und sollten daher
unbedingt vermieden werden. Machen Sie sich daher immer klar, womit eine Umformung
beginnt und was Sie abzuleiten gedenken. Wenn Sie die Rechnung vom Ergebnis zum
Ausgangspunkt hin durchführen, so kehren sie die Schlussweise in der Reinschrift um!
Welche Umformungen sind eigentlich erlaubt? Auf beiden Seiten darf dasselbe addiert (subtrahiert)
werden. Es dürfen auch beide Seiten mit derselben Zahl multipliziert werden; Wie
steht es mit der Division?
Theorem 2.4.3 (Sinnlosigkeit der Zahlen). Alle Zahlen sind gleich.
Beweis. O.B.d.A. werden wir den Spezialfall 1 = 2 beweisen. Wir werden nur elementare
Umformungen benutzen. Wir beginnen mit reellen Zahlen a und b mit a = b.
Die Abkürzung O.B.d.A. steht für ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Korrekt wird
sie zu Beginn eines Beweises oder Beweisteils verwendet. Damit wird der Leser auf zwei
Dinge aufmerksam gemacht. Einerseits soll nur ein Teil der Aussage bewiesen werden, und
andererseits ist der Autor des Beweises der Meinung, dass die Gesamtaussage einfach aus
dem Bewiesenen folgt. Es steckt also hinter o.B.d.A. ein weiterer mathematischer Satz ( ”
aus
dem tatsächlich Bewiesenen folgt die Aussage des Satzes“), und o.B.d.A. bedeutet dann,
dass diese Implikation nach Meinung des Autors trivial, also besonders einfach herzuleiten
ist.
Zusätzlich zur Beschränkung auf einen Sonderfall, aus dem schon die gesamte Aussage
folgt, kann man O.B.d.A. auch noch zur Vereinfachung der Bezeichnung oder zum Ausschließen
trivialer Sonderfälle verwenden. Beispiele zu diesen Verwendungen werden Sie in
späteren Beweisen finden.
a = b
a 2 = ab nach Multiplikation mit a
a 2 + a 2 = a 2 + ab nach Addition von a 2
2a 2 = a 2 + ab
2a 2 − 2ab = a 2 + ab − 2ab nach Subtraktion von 2ab
2a 2 − 2ab = a 2 − ab
2(a 2 − ab) = 1(a 2 − ab)
2 = 1 nach Division durch a 2 − ab,
woraus unsere Behauptung folgt.
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