Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

90 5. GRUNDLEGENDE ALGEBRA
das zweite Distributivgesetz (DG2) dann automatisch) für die ”
Verträglichkeit“ der beiden
Operationen.
Anders ausgedrückt ist ein Ring mit Einselement (K, +, ·) ein Körper, wenn zusätzlich
(K \ {0}, ·) eine abelsche Gruppe ist.
Beispiel 5.4.3 (Körper). Die rationalen Zahlen (É, +, ·, 0, 1) bilden ebenso einen Körper
wie die reellen oder komplexen Zahlen.
Um weitere Beispiele zu finden, müssen wir ein wenig arbeiten — was wir im folgenden
Beispiel auch tun.
Beispiel 5.4.4 (Restklassenkörper). Die schon aus Beispiel 4.2.13 bekannten Restklassen
p bilden einen kommutativen Ring mit Einselement mit den Verknüpfungen
a + b := a + b
a · b := ab.
Ist p eine Primzahl, so istp sogar ein Körper.
Zuerst seien die Eigenschaften für Ringe überprüft: Die Operation + ist wohldefiniert,
weil für je zwei verschiedene Repräsentanten a, a ′ ∈ a bzw. b, b ′ ∈ b gilt: a = a ′ + kp und
b = b ′ + lp für geeignete k, l ∈. Dann ist aber a + b = a ′ + b ′ + (k + l)p, und damit ist
a + b = a ′ + b ′ .
Der Ausdruck wohldefiniert bedeutet nicht, dass etwas schön“ definiert ist. Diesen Ausdruck
verwendet man, wenn man eine Beziehung, eine Operation, eine Abbildung für eine
”
Klasse von Objekten dadurch definiert, dass man einen Repräsentanten aus der Klasse
wählt und für diesen die Beziehung, Operation, Abbildung erklärt. Dann muss man nämlich
überprüfen, ob diese Definition unabhängig von der Wahl des Repräsentanten ist oder ob
die Definition etwa auf verschiedenen Elementen der Äquivalenzklasse verschiedenes bedeutet,
denn das wäre schlecht.
Ein Beispiel einer nicht wohldefinierten Operation auf3 ist √ a := √ a, wenn a eine
Quadratzahl ist. Wollen wir √ 1 berechnen, so finden wir √ 1 = √ 1 = 1. Gleichzeitig gilt aber
1 = 4, und wir hätten √ 1 = √ 4 = √ 4 = 2, was zu einem Widerspruch führt. Die Operation
√ wie oben eingeführt ist also nicht wohldefiniert.
Ebenso gilt für ·: ab = (a ′ + kp)(b ′ + lp) = (a ′ b ′ + (a ′ l + kb ′ + klp)p), und daher ist
ab = a ′ b ′ . Auch · ist also wohldefiniert.
Weil für ganze Zahlen (und das sind die Repräsentanten der Nebenklassen ja auch!)
Assoziativgesetz, Kommutativgesetz und Distributivgesetz gelten, gelten diese Gesetze auch
für + und · aufp. Das Nullelement ist 0, und das Einselement 1 erfüllt für p > 1 auch
0 ≠ 1. Das additiv Inverse einer Klasse a ist leicht gefunden. Es ist −a.
Um zu überprüfen, dassp ein Körper ist, wenn p eine Primzahl ist, müssen wir nur noch
beweisen, dass jedes Element a ≠ 0 ein Inverses besitzt. Dazu müssen wir eine Restklasse b
finden mit a · b = 1. Ein Satz aus der elementaren Zahlentheorie besagt folgendes:
Sind x, y ∈Æmit ggT(x, y) = 1, so gibt es ganze Zahlen b, n mit
1 = bx + ny.
Für jede Restklasse a mit a ≠ 0 ist ggT(a, p) = 1, da p Primzahl ist. Somit folgt die Existenz
zweier Zahlen b, n mit ba + np = 1. Daher ist b das Inverse zu a, undp ist tatsächlich ein
(endlicher) Körper.