Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

6.4. DIE REELLEN ZAHLENÊ 109
Wenn wir zu guter Letzt die Schreibweise
{
m
n := [(m, n)] für n > 0
[(−m, −n)] für n < 0
erklären, dann haben wir die ”
Bruchzahlen“ wieder eingeführt und die gewohnte Notation
vonÉzurückgewonnen.
Auch die ganzen Zahlenkönnen wir inÉwiederfinden. Wenn wir die Elemente der Form
[(n, 1)] betrachten, so sehen wir, dass für m ≠ n auch [(m, 1)] ≠ [(n, 1)] gilt. Die Rechenoperationen
ingelten auch: [(m, 1)] + [(n, 1)] = [(m + n, 1)] und [(m, 1)][(n, 1)] = [(mn, 1)].
Die Abbildung ι :→Émit ι : z ↦→ [(z, 1)] ist ein injektiver Ringhomomorphismus. Wir
können also∼ = ι() ⊆Éals Teilring (sogar Teil-Integritätsbereich) sehen. Wir werden
Elemente der Form [(m, 1)] daher weiterhin mit der ganzen Zahl m identifizieren.
6.4. Die reellen ZahlenÊ
Die reellen Zahlen sind die vorletzte Zahlenmenge, die wir genauer untersuchen wollen.
Weil einige wichtige Beziehungen inÉnicht berechnet werden können (etwa die Länge der
Diagonale des Einheitsquadrates oder die Fläche des Einheitskreises), bleibt uns keine Wahl
als die Zahlenmenge ein weiteres Mal zu vergrößern.
Der KörperÉist auch ”
löchrig“ im folgenden Sinn. Betrachten wir die beiden disjunkten
Mengen
A = {x ∈É|x>0 ∧ x 2 < 2}
B = {x ∈É|x>0 ∧ x 2 > 2},
dann ist deren Vereinigung A ∪ B =É+. Wir würden aber vom Gefühl erwarten, dass
zwischen den beiden Mengen noch eine Zahl sein sollte. Das ist natürlich nicht möglich,
da diese Zahl die Gleichung x 2 = 2 erfüllen würde, was bekanntermaßen in den rationalen
Zahlen nicht möglich ist (Theorem 3.2.4).
Um die Löcher zu ”
stopfen“, müssen wir zuÉirrationale Zahlen hinzufügen und erhalten
den geordneten Körper (Ê, +, ·, ≤), den wir auch als Zahlengerade repräsentieren. Die
rationalen Zahlen sind ein geordneter Unterkörper vonÊ.
Die reellen Zahlen bilden die Grundlage der Analysis, und daher müssen wir einige wichtige
Eigenschaften vonÊableiten.
Definition 6.4.1 (Ordnungsvollständigkeit). Eine geordnete Menge M ist ordnungsvollständig
(hat die Supremums–Eigenschaft), wenn zu jeder nichtleeren nach oben beschränkten
Teilmenge E ⊆ M ein Supremum sup E ∈ M existiert (vgl. Definition 4.2.18).
Um diese Eigenschaft vernünftig anwenden zu können, müssen wir zuerst einige äquivalente
Formulierungen beweisen.
Proposition 6.4.2 (Charakterisierung ordnungvollständiger Mengen). Sei M eine geordnete
Menge. Dann sind äquivalent:
(1) M ist ordnungsvollständig.
(2) Jede nach unten beschränkte nichtleere Teilmenge F ⊆ M besitzt ein Infimum
inf F ∈ M.
(3) Für je zwei nichtleere Teilmengen E und F von M mit
a ≤ b
gibt es ein Element m ∈ M mit
a ≤ m ≤ b
∀a ∈ E, ∀b ∈ F
∀a ∈ E, ∀b ∈ F