Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

16 2. GRUNDLAGEN
Beispiel 2.4.5. Normalerweise ist das Quadratwurzel Ziehen nicht erlaubt, weil die
Funktion f(x) = x 2 sowohl x als auch −x auf x 2 abbildet; also das Ziehen der Wurzel
nicht eindeutig ist! Schränken wir aber f auf positive reelle Zahlen ein, so vermeiden wir
dieses Problem und können gefahrlos Wurzel ziehen.
Sei x ≥ 0, und seien a, b reelle Zahlen. Dann gilt
4x 2 = (a 2 + b 2 ) 2
2x = a 2 + b 2
x = 1 2 (a2 + b 2 ),
und diese Umformung ist richtig, da wir schon wissen, dass x ≥ 0 und a 2 +b 2 ≥ 0 (warum?)
gelten.
Ist die Anwendung der Umkehrfunktion zwingend nötig, um eine Rechnung fortsetzen zu
können, so müssen wir bei Mehrdeutigkeit Fallunterscheidungen durchführen.
Um wieder zum Beispiel Quadratwurzel“ zurückzukehren, sehen wir uns an, wie der
”
vorletzte Umformungsschritt im falschen Beweis von Theorem 2.4.4 richtigerweise geführt
hätte werden müssen.
(
4 −
9
2
1. Fall: Vorzeichen +:
) 2 ( )
= 5 −
9 2
2
4 − 9 = ±(5 − 9)
2 2
4 − 9 = 5 − 9 2 2
− 1 = 1 ist offensichtlich falsch
2 2
2. Fall: Vorzeichen −:
4 − 9 = −( )
5 − 9 2 2
− 1 = 2 −1 was stimmt.
2
Der 1. Fall führt offensichtlich zu einem unsinnigen Ergebnis und muss daher verworfen
werden. Der 2. Fall hingegen liefert das richtige Resultat. Nur dieser darf im Beweis des
Theorems verwendet werden und wir sind daher erwartungsgemäß nicht in der Lage, die
Behauptung 4 = 5 zu beweisen.
2.5. Vollständige Induktion
Wir haben im Abschnitt 2.1 bereits die beiden grundlegenden Beweisprinzipien, den
direkten und den indirekten Beweis kennengelernt.
Die erste Beweisidee, die wir kennenlernen wollen, wird oft benötigt, wenn wir eine Behauptung
für alle natürlichen Zahlen beweisen möchten.
Beispiel 2.5.1. Betrachten wir die folgende Reihe von Ausdrücken.
1 = 1 = 1 2
1 + 3 = 4 = 2 2
1 + 3 + 5 = 9 = 3 2
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 2
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5 2
Nach einem ”
Intelligenztest“ finden wir also heraus, dass die Summe der ersten n ungeraden
Zahlen genau das Quadrat von n ergibt.