Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

42 4. MENGENLEHRE
• Sei n die kleinste natürliche Zahl, die ...
• ...die leere Menge.
• ...die Menge der natürlichen/ganzen/rationalen/reellen Zahlen.
Bevor wir den Begriff ”
Menge“ weiter studieren, machen wir einen kurzen historischen
Exkurs, denn die Geschichte der Mengenlehre unterscheidet sich grundlegend von der fast
aller anderen Gebiete der Mathematik, wie etwa in [O’Connor, Robertson 1996] dargestellt.
Üblicherweise geht die mathematische Entwicklung verschlungene Wege. Theorien werden
über Jahrhunderte hinweg von mitunter konkurrierenden Schulen von Mathematikern
gepflegt und weiterentwickelt. Plötzlich ist die Theorie an einem Punkt angelangt, an dem
oftmals mehrere Mathematiker gleichzeitig einen Geistesblitz haben und ein bedeutendes
Resultat entdeckt wird. Die Mengenlehre steht dem vollständig entgegen. Bis auf wenige
zusätzliche Arbeiten ist sie die Entwicklung eines einzigen Mannes, Georg Cantor.
Abbildung 4.1. Georg Cantor (1845–1918)
Die ”
Unendlichkeit“ hat die Philosophie (und damit die Mathematik) jedenfalls seit Zeno
von Elea (ca. 490-425 v.Chr), also seit etwa 450 v.Chr. beschäftigt. Später haben sich bedeutende
Philosophen, unter anderen Aristoteles (384–322 v.Chr.), René Descartes (1596–1650),
Georeg Berkeley (1685–1753), Gottfried W. Leibniz (1646–1716), aber auch Albert von Sachsen
(1316-1390), der die Volumina unendlicher Mengen (Strahlen, Raum,...) verglichen hat,
mit diesem Problem auseinandergesetzt.
Anders die Idee der Menge. Diese begann erst Mitte des 19. Jahrhunderts langsam in
die Köpfe der Mathematiker Einzug zu halten. So hat etwa der tschechische Mathematiker
Bernard Bolzano (1781–1848) ein Jahr vor seinem Tod folgendermaßen formuliert:
...eine Verkörperung der Idee oder des Konzeptes, das wir erhalten, wenn
wir die Anordnung seiner Teile für gleichgültig erachten.
Der wirkliche Durchbruch der Mengenlehre kam aber erst mit Georg Cantor, der nach einem
Besuch bei Richard Dedekind (1831–1916) und darauf folgender Korrespondenz im Jahr
1874 eine wissenschaftliche Arbeit im Crelle-Journal publizierte, in der er Mengen und das
Konzept verschiedener Klassen von Unendlichkeit einführte.