Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

2.3. SUMMEN, PRODUKTE — ZEICHEN 11
• Der Gesamtausdruck entspricht dann einer Summe von Termen, die aussehen wie
der allgemeine Summand, hier a i x i , in dem der Summationsindex jeweils durch
alle Werte ersetzt wird. In der dadurch gebildeten Summe kommt der Summationsindex
also nicht mehr vor!
Betrachtet man eine Summe, so kann man sofort erkennen, aus wievielen Termen die Summe
besteht
Anzahl der Summanden = obere Grenze − untere Grenze + 1.
Dies ist auch der erste Schritt in der Analyse eines allgemeinen Summenausdrucks.
Man kann das Summenzeichen dazu verwenden, die Verknüpfung einer bestimmten Anzahl
von Ausdrücken darzustellen. Ein einfaches Beispiel dazu ist
4∑
i=1
1
i + 1 = 1
1 + 1 + 1
2 + 1 + 1
3 + 1 + 1
4 + 1 = 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5
Die wahre Stärke besteht allerdings, wie erwähnt, darin, dass man eine unbestimmte Anzahl
von Termen summieren kann:
n∑
a i = a 1 + a 2 + · · · + a n
i=1
In der Analysis wird gezeigt werden, dass selbst die Unendlichkeit hier keine Grenze bildet!
Man kann zum Beispiel eine unendliche Reihe (hier an einem Beispiel) bilden, und
schreiben:
∞∑ 1
i = 1 1 + 1 2 + 1 3 + · · ·
i=1
Den tieferen mathematischen Sinn dieses Ausdrucks wollen wir an dieser Stelle allerdings
nicht untersuchen.
Die Laufvariable kann an die jeweiligen Bedürfnissen des Problems anpasst werden. Sie
kann beliebig umbenannt und sogar weiteren Transformationen unterworfen werden (ähnlich
der Substitutionsregel für Integrale), wenn dabei beachtet wird, dass sich das Ergebnis nicht
ändert. So kann etwa eine Indexverschiebung durchgeführt werden: Setze zum Beispiel
i = j + 2 so gilt:
9∑ 7∑
a i =
i=3
j=1
a j+2
Wir haben dabei die neuen Grenzen für j durch Einsetzen berechnet
untere Grenze: 3 = i = j + 2 ⇒ j = 1
obere Grenze: 9 = i = j + 2 ⇒ j = 7
und im allgemeinen Summanden i durch j + 2 ersetzt.
Nach Definition ist übrigens das Ergebnis einer allgemeinen Summe gleich 0, falls die
untere Grenze größer als die obere Grenze ist.
Es treten in der Mathematik natürlich nicht nur Summen variierender Länge auf, auch
für andere Operationen, etwa Produkte, benötigt man ein ähnliches Prinzip, und daher hat
man viele dem Summenzeichen entsprechende Zeichen eingeführt. So gibt es etwa das bereits
in der Analysis wichtige Produktzeichen ( ∏ ) und noch weitere, etwa ⋃ , ⋂ , ⊙ , ⊕ , usw.,
die in anderen Bereichen der Mathematik ihre Rolle spielen.