Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

KAPITEL 4
Mengenlehre
In diesem Kapitel führen wir nun unsere erste mathematische Struktur, die der Menge
ein. An diesem Punkt stoßen wir also zum ersten Mal auf das in der Einleitung erwähnte
Grundprinzip der Mathematik: Definition und Untersuchung von Strukturen.
Ein Großteil der mathematischen Theorien ist darauf aufgebaut, Objekte mit bestimmten
Eigenschaften und deren Beziehungen untereinander zu untersuchen. Strukturen können
neben einander existieren oder aber auf einander aufbauen, d.h. sie sind Spezialisierungen
oder Kombinationen von bereits bestehenden Strukturen.
Die Basisstruktur für die meisten Gebiete der Mathematik ist diejenige der Menge, die
wir auf naive Weise im Abschnitt 4.1 einführen. Nach einer Darstellung der elementaren
Mengenoperationen untersuchen wir Relationen als Struktur, die auf dem Begriff der Menge
aufbaut und Abbildungen zwischen Mengen. Zum Schluss des Kapitels geben wir eine kurze
Einführung in die axiomatische Mengenlehre (Aufbaustoff).
4.1. Naive Mengenlehre
Bevor wir in Abschnitt 4.5 kurz einen logisch exakten Zugang zur Mengenlehre skizzieren,
wollen wir uns hier, aus Gründen der Motivation und des besseren Verständnisses, auf
den Zugang von Georg Cantor (1845–1918) zurückziehen, den dieser gegen Ende des 19.
Jahrhunderts erstmals formuliert hat:
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung S von bestimmten
wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens
(welche die Elemente von S genannt werden) zu einem Ganzen.
Vorstellen kann man sich eine Menge gewissermaßen als einen Sack. Die Elemente sind
die Gegenstände, die sich in dem Sack befinden. Natürlich können Mengen andere Mengen
enthalten so, wie sich auch weitere Säcke innerhalb eines Sackes befinden können.
Beispiel 4.1.1 (Mengen). Bilden kann man etwa die folgenden Mengen.
• Die Menge aller Studierenden im Hörsaal.
• Die Menge der natürlichen Zahlen.
• Die Menge der Lösungen einer Ungleichung.
• Die leere Menge ( ”
ein leerer Sack“).
Der Gebrauch des bestimmten Artikels ist in der Mathematik äußerst eingeschränkt. Es
gibt eine feste Regel, die nie gebrochen werden darf.
Ein bestimmter Artikel darf nur dann verwendet werden, wenn
es klar ist, dass das fragliche Objekt eindeutig bestimmt ist.
So ist es unzulässig zu formulieren
• ...der Teiler von 6 (denn es gibt 1, 2, 3 und 6).
• ...die Matrix, die einer lineare Abbildung f entspricht...(denn sie ist nicht eindeutig).
• ...die Basis desÊ3 .
Richtig wäre es dagegen zu sagen:
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