Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

5.4. KÖRPER 91
In der Zahlentheorie sind die Operationen in denm sehr wichtig. Dort hat sich eine
eigene Schreibweise etabliert. Für a + b = c inm schreibt man
a + b ≡ c mod m
und spricht: ”
a plus b kongruent c modulo m“. Ebenso für das Produkt
a · b ≡ c mod m.
Bemerkung 5.4.5. Nach Beispiel 4.2.13 hatp genau p Elemente, sodassp, für p
eine Primzahl, ein Körper mit p Elementen ist. Wir sprechen von endlichen Körpern im
Gegensatz zuÉ,Êund, die ja unendlich (genauer abzählbar unendlich im Falle vonÉbzw.
überabzählbar unendlich in den FällenÊund; vgl. Abschnitt 4.4) viele Elemente besitzen.
Im folgenden wenden wir uns wieder dem Studium der abstrakten Struktur zu.
Proposition 5.4.6 (Rechenregeln für Körper). Ist (K, +, ·) ein Körper, a, b ∈ K, so
gelten die Rechenregeln
(1) (ab) −1 = a −1 b −1 .
(2) (−a) −1 = −a −1 ,
(3) ab = 0 impliziert a = 0 oder b = 0 (Nullteilerfreiheit)
(4) Die Gleichung ax = b hat für a ≠ 0 die eindeutige Lösung x = a −1 b.
Beweis.
(1) Die Aussage folgt aus Proposition 5.2.25 (1) und der Kommutativität der Multiplikation
oder direkt aus
(ab)(a −1 b −1 ) = aba −1 b −1 = aa −1 bb −1 = 1 · 1 = 1
und der Eindeutigkeit der Inversen.
(2) Zunächst gilt (−1) −1 = −1, denn
−1 = (−1) · 1 = (−1)((−1)(−1) −1 ) = ((−1)(−1))(−1) −1 = (−1) −1 ,
wobei wir im letzten Schritt Proposition 5.3.8 (3) verwendet haben. Schließlich erhalten
wir unter Verwendung von Proposition 5.3.8 (4) und Eigenschaft (1)
(−a) −1 = ((−1)a) −1 = (−1) −1 a −1 = (−1)a −1 = −a −1 .
(3) Da (K \ {0}, ·) eine Gruppe bildet, folgt aus a, b ∈ K \ {0}, dass auch ab ∈ K \ {0}.
(4) Falls b ≠ 0 folgt die Aussage aus Proposition 5.2.25 (3) (wiederum weil (K \ {0}, ·)
eine Gruppe ist). Ist b = 0, so folgt aus (3), dass x = 0; also gilt auch hier die
Eindeutigkeit.
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Bemerkung 5.4.7. Proposition 5.4.6 (3) zeigt, dass Körper nullteilerfrei also Integritätsbereiche
sind; also sind Körper die speziellste aller hier vorgestellten Strukturen (vgl.
Abbildung 5.2).
Analog zu Ringen kann man auch wieder Unterkörper definieren:
Definition 5.4.8 (Unterkörper). Eine Teilmenge Q ⊆ K eines Körpers (K, +, ·) heißt
Unterkörper, wenn (Q, +, ·) selbst ein Körper ist.
Beispiel 5.4.9 (Unterkörper). Die rationalen ZahlenÉsind ein Unterkörper der reellen
ZahlenÊ. Diese sind wiederum ein Unterkörper der komplexen Zahlen.
Proposition 5.4.10 (Charakterisierung von Unterkörpern). Eine Teilmenge Q eines
Körpers (K, +, ·) ist genau dann ein Unterkörper, wenn eine der folgenden äquivalenten
Bedingungen gilt.