Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

2.4. GLEICHUNGSUMFORMUNGEN IN BEWEISEN — STIL UND FALLEN 13
Eine wesentliche Vereinfachung ist bei Summanden spezieller Gestalt möglich, nämlich
für sogenannte Teleskopsummen:
n∑
(a i − a i−1 ) = a 1 − a 0 + a 2 − a 1 + a 3 − a 2 + · · · + a n−1 − a n−2 + a n − a n−1 = a n − a 0
i=1
Analog ergeben sich Teleskopprodukte:
n∏ a i
= a n
a i−1 a 0
i=1
Zum Abschluss stellen wir noch eine weitere Verwendung des Summenzeichens vor (Analoges
gilt natürlich auch für die verwandten Zeichen). Der Ausdruck
∑
i∈I
definiert eine Summe, die für jedes Element der Menge I einen Term enthält. (Wir verwenden
hier den Mengenbegriff naiv, er wird im Kapitel 4 präzisiert.) Ähnlich wie zuvor wird im
allgemeinen Summanden die Laufvariable i jeweils durch das ausgewählte Element ersetzt.
Diese Notation hat vor allem zwei Vorteile. Zum einen können auch ”
unregelmäßige“ Indexmengen
verwendet werden, und zum anderen bleibt die Anzahl der Indizes nicht auf endlich
(oder abzählbar; vgl. 4.4 unten) viele beschränkt.
Beispiel 2.3.2. Es gilt
∑
i∈{1,4,7,21}
a i
a 2 i = a2 1 + a2 4 + a2 7 + a2 21 .
2.4. Gleichungsumformungen in Beweisen — Stil und Fallen
2.4.1. Elementare Umformungen. Zunächst zur Schreib- und Sprechweise:
Werden Ketten von Gleichungen untereinander geschrieben, so bedeutet das, dass die
untere Gleichung aus der oberen folgt, d.h.: Wenn die obere Gleichung gilt, dann gilt auch
die untere.
Beispiel 2.4.1. Betrachten wir die Ableitung
3r 2 + 4r + 5 = −r 3 + r + 4 | + r 3 − r − 4
r 3 + 3r 2 + 3r + 1 = 0
(r + 1) 3 = 0 | √
3
r + 1 = 0 | − 1
r = −1
Sie ist, wie in der Mathematik üblich, von oben nach unten gültig. Das bedeutet, wenn wir
Folgerungspfeile einführen, können wir die Implikationen hervorheben
3r 2 + 4r + 5 = −r 3 + r + 4 | + r 3 − r − 4 ⇒
r 3 + 3r 2 + 3r + 1 = 0
⇒
(r + 1) 3 = 0 | √ 3 ⇒
r + 1 = 0 | − 1 ⇒
r = −1
und wenn wir alle Zwischenschritte weglassen, ergibt sich der logische Schluss
3r 2 + 4r + 5 = −r 3 + r + 4 ⇒ r = −1.