Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

70 5. GRUNDLEGENDE ALGEBRA
viele Zwischenstufen aus dem arabischen al-jabr (Auffüllen, Vervollständigen) das moderne
Wort Algebra.
Heute wird unter Algebra vor allem die mathematische Theorie von Strukturen verstanden,
und was das genau ist, wollen wir uns in den nächsten Abschnitten genauer ansehen.
5.1. Motivation
Alle hier zu besprechenden Strukturen basieren auf dem Mengenkonzept. Es sind Mengen
zusammen mit Abbildungen, die bestimmte Eigenschaften aufweisen. Wir beginnen
mit einigen Beispielen.
Beispiel 5.1.1.
Hauptwörter: Sei W die Menge aller Hauptwörter der deutschen Sprache. Wählt
man zwei Wörter aus W, dann kann man (meist) durch (fast bloßes) Hintereinandersetzen
ein weiteres Wort aus W erzeugen. Wir können etwa aus Leiter“ und ”
” Sprosse“ das Wort ” Leitersprosse“ bilden. Auch ” Dampf“ und Schiff“ lassen sich
”
zu Dampfschiff“ verbinden, Schiff“ und Kapitän“ ergeben Schiffskapitän“.
” ” ” ”
Strichblöcke: Sei S die Menge aller Strichblöcke. Ein Strichblock ist einfach eine
Ansammlung hintereinander geschriebener gleich langer Striche:
s = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
Fügen wir zwei Strichblöcke aneinander, dann erhalten wir wieder einen (längeren)
Strichblock.
Translationen: Sei T die Menge aller Möglichkeiten, ein Objekt im dreidimensionalen
Raum geradlinig zu verschieben, also die Menge der Translationen. Bei der
Betrachtung solcher Verschiebungen können wir uns auf deren Richtung und Länge
beschränken. Zusammen mit der Position des Objekts vor der Translation ist es uns
dann leicht möglich, seine Endposition zu bestimmen. Verschieben wir ein Objekt
zweimal, so hätten wir dieselbe Endposition auch mit einer einzigen Translation erreichen
können. Das Hintereinander-Ausführen von Translationen ist also wieder
eine Translation.
Drehungen: Betrachten wir wieder einen Gegenstand im dreidimensionalen Raum.
Wir wählen eine beliebige Gerade g, die durch seinen Schwerpunkt geht. Dann geben
wir uns einen Winkel ϕ vor und verdrehen das Objekt bezüglich der Drehachse g um
den Winkel ϕ. Die Menge aller dieser Drehungen sei D. Wie bei den Translationen
ergibt das Hintereinander-Ausführen zweier Drehungen wieder eine Drehung.
Abbildungen: Sei M M = Abb(M) die Menge aller Abbildungen von M nach M. Die
Hintereinander-Ausführung ◦ von Abbildungen (vgl. 4.3.11) ist eine Verknüpfung auf
Abb(M).
Zahlenmengen:
Æ: Wenn wir zwei natürliche Zahlen addieren oder multiplizieren, erhalten wir
wieder eine natürliche Zahl.
: Auch das Produkt und die Summe zweier ganzer Zahlen ist eine ganze Zahl.
Ê: Auch reelle Zahlen können wir addieren und multiplizieren, um eine neue reelle
Zahl zu berechnen.
Matrizen:
Addition: Sei M 2 (Ê) die Menge aller 2 ×2–Matrizen reeller Zahlen. Eine 2 ×2–
Matrix ist dabei ein kleines Zahlenquadrat der Form (vgl. 2.2.1)
(
a11 a 12
a 21 a 22
)