Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

102 6. ZAHLENMENGEN
Beweis.
(1) Sei n ≠ 0 und m ≠ 0. Dann gibt es m ′ , n ′ ∈Æmit n = S(n ′ ) und m = S(m ′ )
und wir erhalten mn = S(m ′ )S(n ′ ) = m ′ S(n ′ ) + S(n ′ ) = m ′ n ′ + m ′ + S(n ′ ) =
S(m ′ n ′ + m ′ + n ′ ) ≠ 0 wegen PA3.
(2) Sei M := {n ∈Æ|∀m, k ∈Æ:(n + m = n + k ⇒ m = k)}. Dann ist 0 ∈ M weil
aus 0 + m = 0 + k trivialerweise m = k folgt. Sei nun n ∈ M. Dann gilt wegen
Definitionen und PA4
S(n) + m = S(n) + k ⇒ S(n + m) = S(n + k) ⇒ n + m = n + k ⇒ m = k.
Daher ist S(n) ∈ M und M =Æwegen Korollar 6.1.3.
(3) Aus nm = nk können wir nm ≤ nk folgern, und daraus wegen Theorem 6.1.8 Punkt
(5) auch m ≤ k. Da wir analog auch nk ≤ nm und daraus k ≤ m schließen können,
folgt der Rest aus der Antisymmetrie der Ordnungsrelation.
Damit hätten wir alle Behauptungen bewiesen.
□
6.2. Die ganzen Zahlen
Die ganzen Zahlen sind die zweite Zahlenmenge, die in der Schule eingeführt wird. Um
keine Probleme mit der Umkehrung der Addition, der Subtraktion − zu erhalten, führt man
die negativen Zahlen ein, die Ergebnisse, wenn man größere Zahlen von kleineren subtrahiert.
Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es eine negative Zahl −n mit n+(−n) = 0. Auf diese Weise
wirdzu einer abelschen Gruppe bezüglich der Addition. Wir haben
∈Æ
={. . .,−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }.
Zusammen mit der Addition + und der Multiplikation · bildeteinen Integritätsbereich.
Ferner kann man die Totalordnung vonÆauffortsetzen, indem man erklärt
−n ≤ −m :⇔ m ≤ n und − m ≤ 0 ∀m, n
Diese Ordnungsrelation erfüllt dann dieselben Verträglichkeitsbedingungen (O1) und (O2)
wie sie schon inÆgelten.
Die ganzen Zahlen sind gleich mächtig wieÆ. Es gilt also || = ℵ 0 .
6.2.1. Mengentheoretische Konstruktion von. Machen wir nun den nächsten
Schritt und versuchen wir eine mengentheoretische Konstruktion der ganzen Zahlen.
Gehen wir dazu vonÆaus. Bis jetzt ist dies ja die einzige unendliche Zahlenmenge, die
wir aus den Axiomen konstruiert haben. Bilden wirÆ×Æ, die Paare natürlicher Zahlen.
Definieren wir eine Relation ∼ aufÆ×Ædurch
(m, n) ∼ (m ′ , n ′ ) : ⇐⇒ m + n ′ = m ′ + n
Proposition 6.2.1. Die Relation ∼ ist eine Äquivalenzrelation aufÆ×Æ.
Beweis. Die Reflexivität ist offensichtlich erfüllt, ebenso wie die Symmetrie. Kommen
wir zur Transitivität. Seien (m, n) ∼ (m ′ , n ′ ) und (m ′ , n ′ ) ∼ (m ′′ , n ′′ ). Dann gelten m + n ′ =
m ′ +n und m ′ +n ′′ = m ′′ +n ′ . Daher wissen wir m+n ′ +m ′′ = m ′ +n+m ′′ und daraus wiederum
folgt m + m ′ + n ′′ = m ′ + n + m ′′ . Verwenden wir nun Eigenschaft 2 aus Theorem 6.1.9, so
erhalten wir m + n ′′ = m ′′ + n und (m, n) ∼ (m ′′ , n ′′ ).
□
Wir definieren:= (Æ×Æ)/ ∼ als Faktormenge bezüglich der oben definierten Relation.
Nun wollen wir die Operationen + und · und die Relation ≤ auch aufdefinieren.