Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

128 6. ZAHLENMENGEN
Doch Hamilton hatte es nicht geschafft, aufÊ3 eine Körperstruktur einzuführen. Er hatte
zwar keine Probleme gehabt, auf jedemÊn durch komponentenweise Definition eine Addition
zu erklären, die eine abelsche Gruppe ergab, doch die Multiplikation hatte nicht gelingen
wollen. Was er dann zusammengebracht hat, war eine algebraische Struktur im2 =Ê4 zu
definieren.
SeiÀ=×gegeben. Wir definieren Verknüpfungen aufÀdurch
(z 0 , z 1 ) + (w 0 , w 1 ) := (z 0 + w 0 , z 1 + w 1 )
(z 0 , z 1 )(w 0 , w 1 ) := (z 0 w 0 − z 1 w 1 , z 0 w 1 + z 1 w 0 ).
Wir können die algebraischen Eigenschaften von (À, +, ·) untersuchen. Wegen der komponentenweisen
Definition der Addition folgt sofort, dass (À, +) eine abelsche Gruppe ist.
Die Multiplikation ist assoziativ:
(
(z0 , z 1 )(w 0 , w 1 ) ) (t 0 , t 1 ) = (z 0 w 0 − z 1 w 1 , z 0 w 1 + z 1 w 0 )(t 0 , t 1 ) =
= (z 0 w 0 t 0 − z 1 w 1 t 0 − z 0 w 1 t 1 − z 1 w 0 t 1 , z 0 w 0 t 1 − z 1 w 1 t 1 + z 0 w 1 t 0 + z 1 w 0 t 0 ) =
= (z 0 , z 1 )(w 0 t 0 − w 1 t 1 , w 0 t 1 + w 1 t 0 ) =
= (z 0 , z 1 ) ( (w 0 , w 1 )(t 0 , t 1 ) ) ,
das Element (1, 0) ist das Einselement bezüglich der Multiplikation (das ist leicht), und jedes
Element verschieden von 0 = (0, 0) besitzt ein Inverses:
(
)
(z 0 , z 1 ) −1 z 0 −z 1
=
|z 0 | 2 + |z 1 | 2, .
|z 0 | 2 + |z 1 | 2
Beidseitig gelten die Distributivgesetze, doch das Kommutativgesetz bezüglich der Multiplikation
ist nicht erfüllt. Eine algebraische Struktur dieser Art nennt man Schiefkörper.
Die Quaternionen der Form (z, 0) bilden einen Körper, der isomorph zuist, und daher
werden wir diese Elemente in Zukunft auch mit den komplexen Zahlen identifizieren und
wieder z schreiben.
Wenn wir spezielle Elemente betrachten, erhalten wir erstaunliche Ergebnisse:
(0, 1)(0, 1) = (−1, 0)
(0, i)(0, i) = (−1, 0).
Die Quaternionen enthalten also noch zwei ”
Wurzeln“ von −1. Wir schreiben j := (0, 1) und
k := (0, i) und erhalten so die Rechenregeln
i 2 = −1, j 2 = −1, k 2 = −1,
ij = k, jk = i, ki = j,
ji = −k, kj = −i, ik = −j.
Aus der Definition der Quaternionen lässt sich leicht zeigen, dass man jedes q ∈Àeindeutig
schreiben kann als z 0 + z 1 j (Achtung auf die Reihenfolge!) mit komplexen Koeffizienten z 0
und z 1 oder als q = x 0 + a 1 i + a 2 j + a 3 k mit reellen Koeffizienten a i .
Der Betrag einer Quaternione ist
und die konjugierte Quaternione ist
|(z 0 , z 1 )| = √ |z 0 | 2 + |z 1 | 2 ,
(z 0 , z 1 ) = (z 0 , −z 1 ).
Es gilt analog zu den komplexen Zahlen |q| 2 = qq.