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54 4. MENGENLEHRE Anders ausgedrückt ist eine Familie von Teilmengen einer Menge M genau dann eine Partition, wenn jedes Element von M in genau einer der Teilmengen liegt. (Eigenschaft (ii) sorgt dafür, dass jedes Element von M in mindestens einer der Teilmengen liegt, Eigenschaft (i) dafür, dass es höchstens eine ist.) Theorem 4.2.11 (Äquivalenzklassen als Partition). Jede Äquivalenzrelation ∼ auf einer Menge M definiert eine Partition von M, und umgekehrt kann man aus jeder Partition U i , i ∈ I einer Menge M eine Äquivalenzrelation ∼ gewinnen durch a ∼ b :⇔ ∃i ∈ I : a, b ∈ U i . Beweis. Wir wissen bereits, dass eine Äquivalenzrelation auf M eine Partition definiert (Proposition 4.2.9), nämlich die Partition in Äquivalenzklassen. Sei umgekehrt eine Partition U i , i ∈ I gegeben, und sei die Relation ∼ wie in der Aussage des Theorems definiert. Es bleibt zu zeigen, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist. Reflexivität: Für alle a ∈ M gilt a ∼ a, da wegen ⋃ i∈I U i = M ein j ∈ I existieren muss mit a ∈ U j . Symmetrie: Das folgt ganz offensichtlich aus der Definition von ∼. Transitivität: Gelten a ∼ b und b ∼ c, so wissen wir, dass ein j ∈ I existiert mit a, b ∈ U j und ein k ∈ I mit b, c ∈ U k . Es ist somit b ∈ U j ∩ U k , und daher ist wegen (i) in Definition 4.2.10 U j = U k . Daraus wiederum folgt, dass a, b, c ∈ U j und daher a ∼ c gilt. Also ist ∼ tatsächlich eine Äquivalenzrelation. □ Von Äquivalenzrelationen induzierte Partitionen von Mengen (d.h. Partitionen von Mengen in Äquivalenzklassen einer gegebenen Äquivalenzrelation) sind in der Mathematik äußerst wichtig. Aus diesem Grund hat man der Menge aller Äquivalenzklassen einen eigenen Namen gegeben. Definition 4.2.12 (Quotient). Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf M. Wir definieren die Quotientenmenge oder auch Faktormenge M/ ∼ (sprich: M modulo Tilde) als die Menge aller Äquivalenzklassen bezüglich ∼. Beispiel 4.2.13 (Restklassen). SeiÆ∋p≥2gegeben. Wir definieren aufdie Relation n ∼ p m :⇔ ∃k ∈mit n = m + kp. Gilt n ∼ p m so sagen wir n ist kongruent m modulo p und schreiben manchmal auch n ≡ m(p). Die Relation ∼ p ist eine Äquivalenzrelation: Reflexivität: n ∼ p n, weil n = n + 0p, Symmetrie: Ist n ∼ p m, so finden wir ein k ∈mit n = m + kp, und durch Umformen finden wir m = n + (−k)p. Da mit k auch −k inist, folgt m ∼ p n. Transitivität: Gelten n 1 ∼ p n 2 und n 2 ∼ p n 3 , so finden wir k 1 und k 2 mit n 1 = n 2 + k 1 p und n 2 = n 3 + k 2 p. Setzen wir die Gleichungen zusammen, finden wir n 1 = n 3 + (k 1 + k 2 )p, und k 1 + k 2 ist als Summe ganzer Zahlen eine ganze Zahl. Deshalb folgt n 1 ∼ p n 3 . Diese Äquivalenzrelation erzeugt genau p Äquivalenzklassen 0 = {0, ±p, ±2p, ±3p, . . . } 1 = {1, 1 ± p, 1 ± 2p, 1 ± 3p, . . . } . . p − 1 = {−1, −1 ± p, −1 ± 2p, −1 ± 3p, . . . }. Die p-elementige Faktormenge/ ∼p wird in der Mathematik üblicherweise mitp bezeichnet, und man nennt sie die Restklassen modulo p. Dieser Name begründet sich aus
4.2. RELATIONEN 55 der Tatsache, dass zwei Zahlen aus der selben Restklasse modulo p bei Division durch p denselben Rest aufweisen. 4.2.2. Ordnungsrelationen. Die zweite große Klasse von Relationen, die neben der Reflexivität und Transitivität die Eigenschaft der Antisymmetrie besitzt, dient dazu, Mengen zu ordnen. Definition 4.2.14 (Ordnung). (i) Eine reflexive und transitive Relation ≼ (sprich: vor oder gleich) auf M heißt Ordnungsrelation oder Halbordnung, falls sie die folgende zusätzliche Eigenschaft erfüllt: Antisymmetrie: Die Beziehungen a ≼ b und b ≼ a implizieren schon Gleichheit a = b. In Symbolen a ≼ b ∧ b ≼ a ⇒ a = b. (ii) Gilt für zwei Elemente von M weder x ≼ y noch y ≼ x, so sagt man x und y sind nicht vergleichbar (bezüglich ≼). Andernfalls nennt man die beiden Elemente vergleichbar. (iii) Sind je zwei Elemente von M vergleichbar, gilt also für je zwei Elemente x, y ∈ M wenigstens eine der Relationen x ≼ y oder y ≼ x, so nennt man die Relation eine Totalordnung oder lineare Ordnung auf M. (iv) Betrachten wir eine Menge M zusammen mit einer (Total)-Ordnung ≼, so nennen wir das Paar (M, ≼) (total) geordnete Menge. Um mit Ordnungsrelationen leichter hantieren zu können, müssen wir einige Schreibweisen vereinbaren. Gilt x ≼ y, so schreiben wir auch manchmal y ≽ x. Haben wir x ≼ y und gilt x ≠ y, so kürzen wir ab zu x ≺ y (sprich: x vor y). Analog definieren wir y ≻ x. Gilt andererseits x = y oder x ≺ y, so schreiben wir x ≼ y. Beispiel 4.2.15 (Ordnungen). • Das bekannteste Beispiel für eine Ordnungsrelation (eine Totalordnung) ist die Beziehung ≤ auf den reellen ZahlenÊ. Wir nennen die geordnete Menge (Ê, ≤) oftÊ mit der natürlichen Ordnung. • Sei M die Menge aller Menschen. Wir definieren die Relation ≺ durch A ≺ B, wenn A ein Vorfahre von B ist. Die entstehende Relation ≼ ist klarerweise reflexiv und transitiv. Die Antisymmetrie folgt aus der Tatsache, dass kein Mensch Vorfahre von sich selbst sein kann. Es gibt aber Paare von Menschen, die nicht miteinander vergleichbar sind, für die also weder A ≼ B noch A ≽ B gelten. Die Relation Ist ” Vorfahre von“ ist also eine Halbordnung auf M. So wie eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M eine Struktur definiert, die wichtige Folgestrukturen entstehen lässt, erzeugt auch eine Ordnungsrelation auf M Folgebegriffe. Definition 4.2.16 (Schranken). Sei (M, ≼) eine geordnete Menge, und sei E ⊆ M eine Teilmenge. (i) Gibt es ein β ∈ M mit der Eigenschaft x ≼ β für jedes Element x ∈ E, so nennen wir β eine obere Schranke von E. (ii) Untere Schranken sind analog durch Ersetzen von ≼ durch ≽ definiert. (iii) Die Teilmenge E heißt nach oben (unten) beschränkt, falls sie eine obere (untere) Schranke besitzt. Sie heißt beschränkt, falls sie nach oben und unten beschränkt ist.
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Einführung in das mathematische Ar
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ii INHALTSVERZEICHNIS Kapitel 6. Za
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