Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

6.3. DIE RATIONALEN ZAHLENÉ 107
Die Menge Q ist abzählbar; es gilt also |É| = ℵ 0 (vgl. Abschnitt 4.4). Außerdem besitzt
Ékeinen nicht-trivialen Unterkörper.
6.3.1. Mengentheoretische Konstruktion vonÉ. Wenn wir die ganzen Zahlen konstruiert
haben, steht uns nichts im Wege, dieselbe Konstruktion so ähnlich noch einmal
durchzuführen. Im folgenden bezeichne+ := {n ∈|n>0} die Menge der positiven
Elemente in, also der natürlichen Zahlen ungleich 0.
Betrachten wir auf der Menge×+ die Relation
(m 1 , m 2 ) ∼ (n 1 , n 2 ) : ⇐⇒ m 1 n 2 = m 2 n 1 .
Insbesondere gilt für jede positive natürliche Zahl n die Relation (m 1 , m 2 ) ∼ (nm 1 , nm 2 ).
Proposition 6.3.4. Es gilt wieder ∼ ist eine Äquivalenzrelation auf×+.
Beweis.
Reflexivität: ist offensichtlich,
Symmetrie: erfüllt, weil Definition symmetrisch ist,
Transitivität: Seien (m 1 , m 2 ) ∼ (n 1 , n 2 ) und (n 1 , n 2 ) = (k 1 , k 2 ). Dann sind m 1 n 2 =
m 2 n 1 und n 1 k 2 = n 2 k 1 . Multiplizieren wir die erste Gleichung mit k 2 , so erhalten wir
m 1 n 2 k 2 = m 2 n 1 k 2 . Jetzt können wir die zweite Gleichung einsetzen und erhalten
m 1 n 2 k 2 = m 2 n 2 k 1 . Nachdem n 2 ≠ 0 gilt undein Integritätsbereich ist, folgt
m 1 k 2 = m 2 k 1 , also (m 1 , m 2 ) ∼ (k 1 , k 2 ).
□
Die Menge der rationalen ZahlenÉist definiert als FaktormengeÉ:=×+/ ∼ .
Wenn wir die Operationen
[(m 1 , m 2 )] + [(n 1 , n 2 )] := [(m 1 n 2 + m 2 n 1 , m 2 n 2 )]
[(m 1 , m 2 )] · [(n 1 , n 2 )] := [(m 1 n 1 , m 2 n 2
∈
)]
definieren, so sind diese wohldefiniert und es gilt der folgende Satz
Theorem 6.3.5. Die Menge der rationalen Zahlen (É, +, ·) ist ein Körper mit Nullelement
[(0, 1)] und Einselement [(1, 1)]. Die Menge aller Elemente der Form [(n, 1)] für n
entsprichtmit allen seinen Eigenschaften (aka ist isomorph zu).
Beweis. Beginnen wir mit der Wohldefiniertheit von +. Sei (m ′ 1 , m′ 2 ) ∈ [(m 1, m 2 )]. Dann
haben wir m ′ 1m 2 = m 1 m ′ 2 und
[(m ′ 1, m ′ 2)] + [(n 1 , n 2 )] = [(m ′ 1n 2 + m ′ 2n 1 , m ′ 2n 2 )] = [((m ′ 1n 2 + m ′ 2n 1 )m 2 , m ′ 2n 2 m 2 )] =
= [(m ′ 1 n 2m 2 + m ′ 2 n 1m 2 , m ′ 2 n 2m 2 ) = [(m ′ 2 m 1n 2 + m ′ 2 n 1m 2 , m ′ 2 n 2m 2 )] =
= [(m ′ 2(m 1 n 2 + n 1 m 2 ), m ′ 2n 2 m 2 )] = [(m 1 n 2 + n 1 m 2 , n 2 m 2 )] =
= [(m 1 , m 2 )] + [(n 1 , n 2 )].
Die Wohldefiniertheit im zweiten Term zeigt man analog.
Nun rechnen wir die Gruppenaxiome für + nach
(K1) Seien q = [(q 1 , q 2 )], [(r 1 , r 2 )] und [(s 1 , s 2 )]. Wir rechnen
(q + r) + s = [(q 1 r 2 + q 2 r 1 , q 2 r 2 )] + [(s 1 , s 2 )] = [((q 1 r 2 + q 2 r 1 )s 2 + s 1 q 2 r 2 , q 2 r 2 s 2 )] =
= [(q 1 r 2 s 2 + q 2 r 1 s 2 + s 1 q 2 r 2 , q 2 r 2 s 2 )] = [(q 1 r 2 s 2 + q 2 (r 1 s 2 + r 2 s 1 ), q 2 r 2 s 2 )] =
= [(q 1 , q 2 )] + [(r 1 s 2 + r 2 s 1 , r 2 s 2 )] = q + (r + s)
(K2) Die Definition von q + r ist symmetrisch in q und r.
(K3) Es gilt [(q 1 , q 2 )] + [(0, 1)] = [(1q 1 + 0q 2 , 1q 2 )] = [(q 1 , q 2 )]. Daher ist 0 = [(0, 1)] das
neutrale Element.