Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

34 3. LOGIK
Schließlich wollen wir ein Beispiel betrachten, das aufzeigt, dass die Wahrheitstabelle
der Implikation im täglichen Leben durchaus eine Entsprechung findet. Wir betrachten die
folgende Aussage.
(∗) Es wird ein Stein durch die Glasscheibe geworfen,
und daher zerbricht sie.
Diese Aussage steht, denke ich, außer Zweifel. Sie ist also wahr. Analysieren wir die Sache
genauer. Wir haben die folgenden Aussagen:
p: Ein Stein wird durch die Glasscheibe geworfen.
q: Die Glasscheibe zerbricht.
p ⇒ q: Ein Stein wird durch die Glasscheibe geworfen, und daraus folgt, dass die
Glasscheibe zerbricht.
Die Aussage p ⇒ q ist eine etwas deutlichere Formulierung unserer Beispielaussage (∗) von
oben, deren Wahrheit wir akzeptiert haben. Nun gehen wir alle Fälle unserer Wahrheitstabelle
durch:
p = 0, q = 0: Kein Stein wird durch die Glasscheibe geworfen. Die Glasscheibe zerbricht
nicht. Dies ist mit der Wirklichkeit durchaus verträglich, und widerspricht
nicht im Mindesten unserer Beispielbehauptung (∗).
p = 1, q = 1: Ein Stein wird durch die Glasscheibe geworfen. Die Glasscheibe zerbricht.
Auch das ist ein üblicher Vorgang (nicht das Werfen aber das darauf folgende Zerbrechen).
Auch in diesem Fall entsteht kein Zweifel an (∗).
p = 0, q = 1: Kein Stein wird durch die Glasscheibe geworfen. Die Glasscheibe zerbricht.
Dieser Fall bereitet üblicherweise Schwierigkeiten. Doch bei genauerer Betrachtung
verblasst das Problem schnell. Vielleicht haben wir die Glasscheibe etwa
mit einem Eisenträger durchstoßen. Die Scheibe ist kaputt ohne dass ein Stein geflogen
wäre. Was der Scheibe auch immer passiert ist, genau können wir das aus
dem Wahrheitsgehalt der Aussagen p und q nicht ableiten, die Tatsache, dass (∗)
wahr ist, wird davon nicht berührt.
p = 1, q = 0: Ein Stein wird durch die Glasscheibe geworfen. Die Glasscheibe zerbricht
nicht. Für einen solchen Fall fände ich keine Erklärung — Magie vielleicht? In der
wirklichen Welt tendieren Scheiben zu zerbrechen, wenn man Steine durchwirft.
Sollte aber tatsächlich der Fall eintreten, dass ein Stein geworfen wird, er durch die
Scheibe fliegt und dann die Scheibe noch ganz ist, dann haben wir ein Problem.
In diesem einen Fall müssten wir unsere Überzeugung aufgeben, dass (∗) gilt. Die
Aussage (∗) wäre also tatsächlich falsch.
Wir haben also die Wahrheitswerte der Tabelle für ⇒ in unserem Beispiel auf natürliche
Weise wiedergefunden.
Alternativ dazu könnten wir versuchen herauszufinden, was es bedeutet, wenn wir die Ergebniswerte
in den ersten beiden Zeilen anders setzen. Betrachten wir die anderen möglichen
Fälle:
p q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
p ∧ q
p q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
p ⇔ q
p q q
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Der erste Fall ist die Und-Verknüpfung der Aussagen p und q. Wir hätten also nur dann
eine gültige Folgerung, wenn p und q beide wahr sind. Der Satz: ”
Das Quadrat einer geraden
Zahl ist gerade.“ wäre also nicht wahr sondern hätte keinen zuordenbaren Wahrheitswert —
das wäre zumindest unpraktisch.
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