Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

4.2. RELATIONEN 53
Definition 4.2.8 (Äquivalenzklasse). Sei M eine Menge und ∼ eine Äquivalenzrelation
auf M. Wir definieren die Äquivalenzklasse von a ∈ M durch
C a := {b ∈ M | b ∼ a}.
Alternative Bezeichnungen für C a sind auch [a] und ā.
Aus der Definition sehen wir unmittelbar, dass für jedes a ∈ M die Äquivalenzklasse
C a ⊆ M erfüllt. Wegen der Reflexivität von ∼ gilt a ∈ C a (Äquivalenzklassen sind also
niemals leer!) und somit ⋃ a∈M C a = M.
Eine zweite wichtige Eigenschaft der Äquivalenzklassen wollen wir in der nachfolgenden
Proposition fest halten.
Proposition 4.2.9 (Eigenschaften von Äquivalenzklassen). Sei M eine Menge und ∼
eine Äquivalenzrelation auf M. Dann sind zwei Äquivalenzklassen C a und C b entweder disjunkt
oder gleich. In Symbolen
C a ∩ C b ≠ ∅ ⇔ C a = C b .
Wie in Definition 4.1.16 (vgl. den dieser Definition folgenden Abschnitt) ist in Proposition
4.2.9 eine kleine (zusätzliche) Behauptung versteckt, nämlich dass für zwei Mengen C a
und C b die Aussage C a und C b sind entweder disjunkt oder gleich gleichbedeutend mit der
Aussage C a ∩ C b ≠ ∅ ⇔ C a = C b ist. Ehrlich, haben Sie das bemerkt? Gut, und falls Ihnen
diese ”
Mini-Behauptungen“ nicht klar ist, dann ...(Tipp: Wahrheitstabelle)
Beweis. Da es sich um eine Äquivalenz handelt ...
⇐: Ist C a = C b , so ist auch C a ∩ C b = C a ≠ ∅, weil Äquivalenzklassen niemals leer sind.
⇒: Ist umgekehrt C a ∩ C b ≠ ∅. Dann existiert ein y ∈ C a ∩ C b , und somit gelten y ∼ a
und y ∼ b. Aus Symmetrie und Transitivität folgt a ∼ b. Es bleibt zu zeigen, dass a ∼ b ⇒
C a = C b . Sei dazu x ∈ C a . Dann wissen wir x ∼ a und wegen der Transitivität auch x ∼ b
und damit x ∈ C b . Also gilt C a ⊆ C b . Nachdem wir analog durch Vertauschen von a und
b in obiger Argumentation C b ⊆ C a beweisen können, folgt C a = C b , was wir behauptet
hatten.
□
Wir finden also für jede Äquivalenzrelation ∼ auf einer Menge M eine Familie von Teilmengen
von M, die Äquivalenzklassen C a , die
(i) ⋃ a∈M C a = M (Man sagt: Die C a überdecken M) und
(ii) C a ∩ C b ≠ ∅ ⇔ C a = C b
erfüllen.
Eine Familie von Teilmengen einer gegebenen Menge M, die die obigen Eigenschaften (i)
und (ii) erfüllt ist ein mathematisch interessantes Objekt — und zwar unabhängig davon,
ob diese Familie aus den Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation auf M besteht oder
irgendwelchen Teilmengen von M. Wir definieren daher:
Definition 4.2.10 (Partition). Eine Familie disjunkter Teilmengen einer Menge, die die
gesamte Menge überdecken, nennt man Partition.
Etwas formaler können wir auch schreiben: Eine Familie U i , i ∈ I (I bezeichnet hier
eine beliebige Indexmenge) von Teilmengen einer Menge M heißt Partition von M, falls die
folgenden beiden Eigenschaften gelten:
(i) U i ∩ U j ≠ ∅ ⇔ U i = U j
(ii) ⋃ i∈I U i = M.