Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

6.5. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN 121
• Sind wieder s, t ∈ S. Dann folgt für s ≥ 0 und t ≥ 0, dass
Ìs ·Ìt = {s ′ t ′ | s ′ ∈Ìs, t ′ ∈Ìt} = {s ′ t ′ | s ′ > s ∧ t ′ > t} =
= {s ′ t ′ | s ′ t ′ > st} =Ìst = f(st).
Falls s < 0 ist und t ≥ 0 gilt, ist st = −((−s)t) und aus dem bereits Bewiesenen
folgt
f(st) = f(−((−s)t)) = −f((−s)t) = −(f(−s)f(t)) = −(−(f(s))f(t)) = f(s)f(t).
Der letzte Fall s < 0, t < 0 ist einfacher:
f(st) = f((−s)(−t)) = f(−s)f(−t) = (−f(s))(−f(t)) = f(s)f(t).
• Zuletzt sei wieder s ∈ S mit s > 0.
f(s) −1 =Ì−1
s = {s ′ ∈É|∀t ∈Ìs : s ′ > 1 t
∧ ∀t ′ ∈É:(t ′ = infÌs ⇒ s ′ ≠ 1 t ′ )} =
= {s ′ ∈É|s ′ > 1 s } =Ìs −1 = f(s−1 ).
Ist hingegen s < 0, dann erhalten wir
f(s −1 ) = f(−((−s) −1 )) = −f((−s) −1 ) = −(f(−s) −1 ) = (−f(−s)) −1 = f(s) −1 .
Daher ist f ein Körperisomorphismus, und tatsächlich sind S und R isomorph. □
Ab nun bezeichnen wir den bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten ordnungsvollständigen
geordneten Körper R mitÊund nennen ihn die Menge der reellen Zahlen.
6.5. Die komplexen Zahlen
Kommen wir nun zu einer Zahlenmenge, die in der Schule oft vernachlässigt wird, und
die darüber hinaus einige philosophische Fragen aufzuwerfen scheint.
Wir erinnern uns, dass die Geschichte der Algebra mit Büchern begonnen hat, in denen
unter anderem die Lösung linearer und quadratischer Gleichungen beschrieben wurde. Begonnen
hat das in einer Zeit als nur die positiven rationalen Zahlen bekannt waren. Bereits
die Lösung der quadratischen Gleichung
x 2 = 0 (6.14)
bereitet da Schwierigkeiten. Gegen Ende 14. Jahrhunderts setzte sich in Europa die 0 als
eigenständige Zahl durch, doch die alte Welt musste ein weiteres Jahrhundert warten bis
auch die negativen Zahlen akzeptiert waren. Von diesem Zeitpunkt an war Gleichung (6.14)
lösbar, ebenso wie etwa
x 2 + 3x + 2 = 0. (6.15)
Die Tatsache, dass die rationalen Zahlen nicht genügen, ist seit Hippasos von Metapont
(5. Jahrhundert v.Chr.) bekannt, der die Irrationalität von √ 2 als Diagonallänge des Einheitsquadrates
erkannte. (Dafür wurde er übrigens, sagt die Geschichte, von einer Gruppe
Pythagoreer im Meer ertränkt). Die Polynomgleichung
x 2 = 2, (6.16)
die aus dem Satz von Pythagoras folgt, ist also — wie wir in Theorem 3.2.4 bewiesen haben
— in den rationalen Zahlen nicht lösbar.
Daher wurde in der Mathematik schon früh auf die reellen Zahlen zurückgegriffen, allerdings
ohne eine wirkliche Definition als Zahlenmenge anzugeben. Das haben erst Cantor
und Dedekind im Jahre 1871 auf äquivalente aber unterschiedliche Weise getan.
Ist nun aber jede quadratische Gleichung lösbar? Die Antwort ist, wie wir alle wissen,
nein. Die Gleichung
x 2 + 1 = 0 (6.17)