Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

36 3. LOGIK
Hier bedeutet trivial ein oder mehrere ausgezeichnete Objekte, die nach Definition immer
existieren aber meist uninteressant sind.
Wollen wir einen Satz beweisen, so müssen wir sicher stellen, dass seine Aussage wahr
ist. Die Wahrheitstabelle gibt uns dazu zwei Möglichkeiten (vgl. auch Abschnitt 2.1).
(1) Wir können annehmen, dass die Voraussetzungen (dies sind selbst Aussagen) gelten,
dass also p wahr ist, und zeigen, dass dann das Resultat (die Aussage q) ebenfalls
wahr ist. Beweise dieser Art heißen direkte Beweise.
(2) Alternativ können wir annehmen, dass das Resultat (q) falsch ist und dann daraus
folgern, dass die Voraussetzungen (die Aussage p) ebenfalls falsch sind bzw. einen
Widerspruch zu diesen herleiten (vgl. Abschnitt 2.1). Beweise dieser Art nennt man
indirekte Beweise. Dieses Beweisprinzip funktioniert, da die Aussage des Satzes
bei falschem q nur dann wahr ist, wenn auch p falsch ist. Ist jedoch q wahr, so kann
p beliebig sein.
Nachdem schon einige direkte Beweise (z.B. Induktionsbeweise) vorgekommen sind, betrachten
wir hier nun ein weiteres — man könnte sagen ”
klassisches“ — Beispiel eines indirekten
Beweises und zeigen die Irrationalität von √ 2.
Theorem 3.2.4. Die Zahl √ 2 ist irrational.
Beweis. Die Aussage des Satzes als Implikation aufgeschrieben lautet:
Ist q eine rationale Zahl, so gilt q ≠ √ 2.
Wir führen einen indirekten Beweis. Davor schreiben wir noch einmal alle Voraussetzungen
an, die wir verwenden wollen.
Für jede rationale Zahl q gibt es teilerfremde ganze Zahlen m und n ≠ 0 mit q = m n , und
jede Bruchzahl ist rational. Daher ist q inÉgleichbedeutend damit, dass q als Bruch zweier
teilerfremder ganzer Zahlen mit nicht verschwindendem Nenner darstellbar ist.
Wir können die Aussage des Satzes also auch folgendermaßen formulieren: Sind m und
n ≠ 0 zwei teilerfremde ganze Zahlen, so gilt m n ≠ √ 2.
Für den indirekten Beweis müssen wir das Resultat verneinen, also nehmen wir an, dass
m
n = √ 2. Daraus reicht es zu folgern, dass es solche m und n nicht gibt.
Beweisen wir dies. Sei
m
n = √ 2
m 2
n 2 = 2
m 2 = 2n 2 .
Dies bedeutet aber, dass m 2 gerade ist, und da das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade
ist, muss folglich m selbst gerade sein. Damit können wir m aber schreiben als m = 2k und
einsetzen,
(2k) 2 = 2n 2
4k 2 = 2n 2
2k 2 = n 2 .
Wir sehen, dass auch n 2 und damit n gerade ist. Nachdem wir jetzt bewiesen haben, dass n
und m beide gerade sind, können sie nicht länger teilerfremd sein (sie sind als gerade Zahlen
beide durch 2 teilbar). Dies widerlegt unsere Voraussetzung, und der indirekte Beweis ist
geglückt.
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