Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

KAPITEL 3
Logik
Dieses Kapitel handelt von den Grundlagen der Mathematik. Grundlegendes über Booleschen
Algebren sollte schon aus der Schule bekannt sein. Versteht man erst das Prinzip von
Booleschen Algebren, so ist damit schon der erste Schritt zum Verständnis der Aussagenlogik
getan. Wir erklären die grundlegenden Operationen Und, Oder und die Negation sowie die
Implikation und die Äquivalenz. Schließlich befassen wir uns mit Quantoren und legen somit
den Grundstein zur Einführung unserer ersten mathematische Struktur — der Mengen —
in Kapitel 4.
3.1. Boolesche Algebren
In diesem Abschnitt wollen wir das Kapitel über Boolesche Algebren aus der Schule
aufarbeiten. Es soll uns nicht dazu dienen, daraus die Grundlagen der Mathematik zu bauen
(was im Prinzip möglich wäre), sondern lediglich die Grundoperation der Aussagenlogik
motivieren. Wir beschränken uns dabei auf die Schaltalgebra, ein Konzept, das auch für das
Verständnis der Informatik von großer Bedeutung ist.
Elektronische (auch elektrische) Schaltungen bestehen aus elektrischen Leitungen und
aus Schaltern. Jede Leitung kann sich in zwei Zuständen befinden (Strom führend bzw. nicht
Strom führend), so wie jeder Schalter zwei Zustände (Stellungen) hat: ”
Ein“ und ”
Aus“.
Mathematisch kann man sowohl den Zustand einer Leitung als auch die Stellung eines
Schalters mit Hilfe einer Variable beschreiben, die zwei Werte annehmen kann: 0 oder 1.
Eine solche Variable heißt binäre Variable.
Mit Schaltern kann man steuern, ob Strom durch eine bestimmte Leitung fließt oder
nicht. Das heißt, die Schalterzustände steuern die Zustände von Leitungen. Schaltet man
den Schalter ein, so lässt er den Strom passieren, und ergibt sich ein geschlossener Stromkreis,
so fließt Strom durch die Leitung. In der Computertechnik wurden mit Hilfe von
Transitoren Schaltungen entwickelt, die wie elektronische Schalter funktionieren. Führt dort
eine bestimmte Leitung A Strom, so verhält sie sich wie ein Schalter im Zustand ”
Ein“ für
eine andere Leitung B. Fließt kein Strom durch Leitung A, so verhält sie sich wie ein Schalter
im ”
Aus“-Zustand für Leitung B.
Baut man eine komplizierte Schaltung aus mehreren Schaltern, die durch Leitungen verbunden
sind, so ist meist auf den ersten Blick nicht zu erkennen, welche Leitungen bei
welchen Schalterstellungen Strom führen und welche nicht. Man kann sich dann einen Überblick
verschaffen, indem man so genannte Schaltwerttabellen aufstellt. An einigen einfachen
Schaltungen sei das Prinzip demonstriert.
(1) Setzt man in einem Stromkreis wie in Abbildung 3.1 zwei Schalter hintereinander,
bildet man also eine Serienschaltung, und untersucht, wann die Leitung Strom führt,
erhält man folgende Schaltwerttabelle. Die Bedeutung der Tabelle ist rechts daneben
noch einmal explizit erläutert.
a b a ∧ b
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
25
0 ∧ 0 = 0
0 ∧ 1 = 0
1 ∧ 0 = 0
1 ∧ 1 = 1