Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

52 4. MENGENLEHRE
Ist R eine Relation auf M × N und gilt M = N, so sprechen wir von einer Relation auf
M. Im Folgenden befassen wir uns (fast) ausschließlich mit diesem Fall.
Beispiel 4.2.3 (Relationen). Die Beziehungen aus Beispiel 4.2.1 sind natürlich Relationen
auf der Menge M der HörerInnen im Hörsaal. Haben wir etwa ein Geschwisterpaar S
und B im Hörsaal, so müssen wir in unsere Relation V für ”
verwandt“ die beiden Paare
(S, B) und (B, S) aufnehmen. Ist S weiblich und B männlich, so darf in der ”
Bruder“-
Relation R nur das Paar (B, S) vorkommen (es gilt ja ”
B ist Bruder von S“ aber nicht ”
S
ist Bruder von B“).
Zwei wichtige Hauptgruppen von Relationen wollen wir in den folgenden Abschnitten
untersuchen. Zuvor definieren wir jedoch noch zwei Eigenschaft für Relationen, die in beiden
Abschnitten wichtig sein werden.
Definition 4.2.4 (Transitivität, Reflexivität). Sei R eine Relation auf einer Menge M.
(i) R heißt transitiv, wenn für alle a, b, c ∈ M gilt, dass
a R b ∧ bRc ⇒ a R c.
(ii) R heißt reflexiv, wenn für alle a ∈ M gilt, dass a R a.
Beispiel 4.2.5 (Transitivität, Reflexivität). Kehren wir noch einmal — aber nicht zum
letzten Mal — zu den Relationen aus Beispiel 4.2.1 zurück. Nicht alle sind transitiv, denn
wenn A mit B und B mit C verwandt sind, so ist noch lange nicht A mit C verwandt.
Anderes gilt für Brüder. Ist A Bruder von B und B Bruder von C, so ist auch A Bruder
von C. Auch das Wohnen im gleichen Bezirk ist eine transitive Relation.
Man könnte sagen, die Verwandtschaftsrelation ist reflexiv, wenn man festlegt, dass jeder
Mensch mit sich selbst verwandt ist. Die Bruderbeziehung ist jedoch nicht reflexiv.
Auch ohne weitere Definition ist ”
wohnt im selben Bezirk wie“ eine reflexive Relation.
4.2.1. Äquivalenzrelationen. In diesem Abschnitt befassen wir uns mit einer speziellen
Klasse von Relationen, nämlich jenen die zusätzlich zu den beiden oben definierten
Eigenschaften der Reflexivität und Transitivität die Eigenschaft der Symmetrie besitzen.
Formal definieren wir:
Definition 4.2.6 (Äquivalenzrelation). Eine reflexive und transitive Relation ∼ auf einer
Menge M heißt Äquivalenzrelation, falls sie folgende weitere Eigenschaft erfüllt:
Symmetrie: ∀x, y ∈ M : (x ∼ y ⇒ y ∼ x).
Gilt x ∼ y, so nennen wir x und y äquivalent.
Beispiel 4.2.7 (Äquivalenzrelationen). Wenn wir ein weiteres Mal die Relationen aus
Beispiel 4.2.1 bemühen, so erkennen wir schnell, dass wohnt im selben Bezirk wie“ eine
”
Äquivalenzrelation ist. Die Symmetrie ist erfüllt, denn wenn A und B im selben Bezirk
wohnen, wohnen auch B und A im selben Bezirk.
Die zweite Relation ist Bruder von“ ist keine Äquivalenzrelation, da weder Reflexivität
”
noch Symmetrie gelten.
Ist verwandt mit“ ist zwar symmetrisch, aber da die Transitivität falsch ist, ist es keine
”
Äquivalenzrelation.
Ist eine Äquivalenzrelation ∼ auf einer Menge definiert, so können wir die Relation dafür
verwenden, miteinander äquivalente Elemente von M in Gruppen zusammenzufassen. Dieses
Prinzip ist wohlbekannt, denn in Telefonbüchern werden etwa jene Ärzte in eine Gruppe
zusammengefasst, die im selben Bezirk praktizieren.