Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

6.1. DIE NATÜRLICHEN ZAHLENÆ 97
alle diese Zahlen enthält, denn nur dann ist sie eindeutig bestimmt (und das, was wir uns
naiv unterÆvorstellen).
Theorem 6.1.2. Sei die Nachfolgereigenschaft ψ
gegeben. Dann gilt
ψ(Y ) := ∀X : (∅ ∈ Y ∧ (X ∈ Y ⇒ S(X) ∈ Y )).
∃!Æ:∀M : (ψ(Æ) ∧ (ψ(M) ⇒Æ⊆M)).
Mit anderen Worten, es gibt genau eine Menge der natürlichen Zahlen. Sie ist die kleinste
Menge, die die Nachfolgereigenschaft besitzt.
Beweis. Wegen ZF7 gibt es eine Menge Z, die die Eigenschaft ψ(Z) besitzt. Wir definieren
N := {M ∈ÈZ | ψ(M)}. Sei nunÆ:= ⋂ N. (Für eine Mengenfamilie F ist ⋂ F
definiert durch ⋂ F := {x ∈ ⋃ F | ∀F ∈ F : (x ∈ F)}.)
Dann gilt ∀M ∈ N : ψ(M), und daher ∀M ∈ N : (∅ ∈ M), also auch ∅ ∈Æ. Ferner
wissen wir X ∈Æ⇒(∀M ∈ N : (X ∈ M)), deshalb ∀M ∈ N : (S(X) ∈ M), was wiederum
S(X) ∈Æzur Folge hat. Daher gilt ψ(Æ).
Um Eindeutigkeit zu zeigen, nehmen wir an, dass ∃M : ψ(M) (etwa ein M, das nicht
Teilmenge von Z ist). Mit denselben Argumenten wie oben können wir zeigen, dass ψ(Z ∩M)
gilt, sowie (Z ∩ M) ⊆ M undÆ⊆Z∩ M, wasÆ⊆M impliziert.
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Korollar 6.1.3. Es gilt das Induktionsprinzip
∀M ∈ÈÆ:(ψ(M) ⇒ M =Æ).
Beweis. Sei M ∈ÈÆbeliebig. Gilt ψ(M), so ist M ⊆Æ, und nach Voraussetzung gilt
Æ⊆M, und daher ist M =Æ.
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Diese (etwas unintuitive) Version der Konstruktion der natürlichen Zahlen ist viel mächtiger
als die Definitionen, die im neunzehnten Jahrhundert gegeben wurden. Das sieht man
allein daran, dass man das Induktionsprinzip beweisen kann und nicht als Axiom fordern
muss. Alle fünf von Peano für die natürlichen Zahlen angegebenen Axiome kann man leicht
überprüfen.
Proposition 6.1.4. Die Menge der natürlichen ZahlenÆerfüllt die Peano Axiome.
Beweis. Die Axiome PA1 und PA2 gelten wegen der Definition vonÆund PF5 haben
wir in Korollar 6.1.3 gezeigt. Es bleiben also nur noch PA3 und PA4.
PA3 beweisen wir indirekt. Sei also n ∈Ægegeben mit S(n) = 0. Dann ist S(n) =
n ∪ {n} = ∅, doch es gilt n ∈ S(n), und daher S(n) ≠ ∅. Dieser Widerspruch beweist PA3.
Zum Beweis von PA4 nehmen wir an, dass m, n ∈Æsind mit S(n) = S(m). Sei k ∈ n.
Dann ist auch k ∈ n ∪ {n} = S(n) = S(m) = m ∪ {m}, also k ∈ m oder k ∈ {m} wegen der
Eigenschaften von ∪. Weil aber die Menge {m} nur ein Element, nämlich m enthält, folgt
daraus die Tatsache k ∈ m ∨ k = m. Ist k = m, so gilt n ∈ k ∨ n = k, weil n ∈ S(n) =
S(m) = S(k), und daher widerspricht entweder {n, k} oder {k} dem Fundierungsaxiom ZF9.
Daher gilt k ∈ m und auch n ⊆ m. Analog zeigt man durch Vertauschen von m und n die
Relation m ⊆ n, und es folgt n = m. Dies beweist auch PA4, und wir sind fertig. □
Die arithmetischen Operationen + und · definiert man ebenfalls über S. Die Totalordnung
≤ ist einfach
m ≤ n :⇔ (m ∈ n ∨ m = n).
Proposition 6.1.5. Die Relation ≤ ist eine Totalordnung.