Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

KAPITEL 2
Grundlagen
Bevor wir uns auf den Ozean der Mathematik hinauswagen, müssen wir als ersten Schritt
einiges an Grundlagenwissen ansammeln, einfache Schreibweisen und Ideen, ohne die wir
unser Ziel, das Wesen der ”
höheren“ Mathematik zu erforschen, nicht erreichen können.
2.1. Beweise
Wie wir schon in der Einleitung (Abschnitt 1.1.3) erwähnt haben, bilden Beweise die
Grundlage des mathematischen Gebäudes. Während wir in den weiteren Abschnitten tiefer
auf die Art und Weise eingehen werden, wie Beweise aufgebaut und geführt werden, wollen
wir zunächst mit ein paar einfach verständlichen Beispielen beginnen.
Zu Beginn erinnern wir uns, dass eine gerade Zahl eine ganze Zahl ist, die durch 2 teilbar
ist.
Proposition 2.1.1 (Quadrate gerader Zahlen). Das Quadrat einer geraden Zahl ist
gerade.
Man kann sich die gesamte Mathematik denken als eine Ansammlung von Aussagen, die
aus gewissen Grundaussagen (den Axiomen) durch logische Schlussfolgerungen abgeleitet
werden. Dieser Vorgang heißt beweisen. Gilt eine Aussage A als bewiesen, und kann man
eine weitere Aussage B logisch aus A ableiten, so gilt auch B als bewiesen.
Die solcherart bewiesenen Aussagen nennt man Sätze oder auch Theoreme. Üblich
in der Literatur ist, zuerst die Aussage des Satzes aufzuschreiben und danach den Beweis
anzuschließen, in dem die Aussage des Satzes aus bekannten Resultaten hergeleitet wird.
Mit diesem Prinzip steht und fällt die Mathematik, daran lässt sich nicht deuteln.
Anstelle von Satz bzw. Theorem werden auch zuweilen andere Ausdrücke verwendet,
die den Stellenwert der Aussagen untereinander im Rahmen einer Theorie andeuten. Ob und
wie man diese Begriffe verwendet ist teilweise auch Geschmackssache.
Satz, Theorem: Dies ist das typische Resultat einer Theorie.
Hauptsatz: So wird ein besonders wichtiger Satz in einem Teilgebiet der Mathematik
genannt. Ein Beispiel ist etwa der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung,
den Sie im Rahmen der Analysis Vorlesungen kennen lernen werden.
Lemma: Dieses Wort stammt aus dem Griechischen (die Mehrzahl ist daher Lemmata)
und bedeutet ”
Stichwort“ oder ”
Hauptgedanke“. Es wird in zwei verschiedenen
Zusammenhängen verwendet. Zum einen bezeichnet es ein kleines, meist technisches
Resultat, einen Hilfssatz, der im Rahmen des Beweises eines wichtigen Satzes verwendet
wird aber selbst meist uninteressant ist. Zum anderen handelt es sich dabei
um besonders wichtige Schlüsselgedanken, die in vielen Situationen nützlich sind.
Solche genialen Erkenntnisse tragen meist den Namen des Erfinders (Lemma von
Zorn, Lemma von Urysohn,...).
Proposition: Dies ist die lateinische Bezeichnung für Satz und wird manchmal an
dessen Stelle verwendet, meist aber um ein Resultat zu bezeichnen, dessen Wichtigkeit
zwischen der eines Hilfssatzes und der eines Theorems liegt.
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