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40 3. LOGIK Mitunter ist es aus der Formulierung nur schwer zu erkennen, dass ein ∃∀ oder ein ∀∃ versteckt ist. Dann ist es besonders wichtig, die Formulierung sehr lange zu prüfen und eventuell auch formalisiert noch einmal aufzuschreiben. • ” Der Wert von y = f(x) ist unabhängig von der Wahl von x“ ist gleichbedeutend mit ∃y : ∀x : f(x) = y.
KAPITEL 4 Mengenlehre In diesem Kapitel führen wir nun unsere erste mathematische Struktur, die der Menge ein. An diesem Punkt stoßen wir also zum ersten Mal auf das in der Einleitung erwähnte Grundprinzip der Mathematik: Definition und Untersuchung von Strukturen. Ein Großteil der mathematischen Theorien ist darauf aufgebaut, Objekte mit bestimmten Eigenschaften und deren Beziehungen untereinander zu untersuchen. Strukturen können neben einander existieren oder aber auf einander aufbauen, d.h. sie sind Spezialisierungen oder Kombinationen von bereits bestehenden Strukturen. Die Basisstruktur für die meisten Gebiete der Mathematik ist diejenige der Menge, die wir auf naive Weise im Abschnitt 4.1 einführen. Nach einer Darstellung der elementaren Mengenoperationen untersuchen wir Relationen als Struktur, die auf dem Begriff der Menge aufbaut und Abbildungen zwischen Mengen. Zum Schluss des Kapitels geben wir eine kurze Einführung in die axiomatische Mengenlehre (Aufbaustoff). 4.1. Naive Mengenlehre Bevor wir in Abschnitt 4.5 kurz einen logisch exakten Zugang zur Mengenlehre skizzieren, wollen wir uns hier, aus Gründen der Motivation und des besseren Verständnisses, auf den Zugang von Georg Cantor (1845–1918) zurückziehen, den dieser gegen Ende des 19. Jahrhunderts erstmals formuliert hat: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung S von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von S genannt werden) zu einem Ganzen. Vorstellen kann man sich eine Menge gewissermaßen als einen Sack. Die Elemente sind die Gegenstände, die sich in dem Sack befinden. Natürlich können Mengen andere Mengen enthalten so, wie sich auch weitere Säcke innerhalb eines Sackes befinden können. Beispiel 4.1.1 (Mengen). Bilden kann man etwa die folgenden Mengen. • Die Menge aller Studierenden im Hörsaal. • Die Menge der natürlichen Zahlen. • Die Menge der Lösungen einer Ungleichung. • Die leere Menge ( ” ein leerer Sack“). Der Gebrauch des bestimmten Artikels ist in der Mathematik äußerst eingeschränkt. Es gibt eine feste Regel, die nie gebrochen werden darf. Ein bestimmter Artikel darf nur dann verwendet werden, wenn es klar ist, dass das fragliche Objekt eindeutig bestimmt ist. So ist es unzulässig zu formulieren • ...der Teiler von 6 (denn es gibt 1, 2, 3 und 6). • ...die Matrix, die einer lineare Abbildung f entspricht...(denn sie ist nicht eindeutig). • ...die Basis desÊ3 . Richtig wäre es dagegen zu sagen: 41
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Seite 4 und 5: ii INHALTSVERZEICHNIS Kapitel 6. Za
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Seite 16 und 17: 12 2. GRUNDLAGEN Die Anwendung dies
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Seite 77 und 78: 5.2. GRUPPEN 73 p À À ÊZ Körpe
Seite 79 und 80: 5.2. GRUPPEN 75 (ii) Analog heißt
Seite 81 und 82: 5.2. GRUPPEN 77 — meist jedenfall
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Seite 87 und 88: 5.2. GRUPPEN 83 (1) Es gilt (g ◦
Seite 89 und 90: 5.2. GRUPPEN 85 (iii) Sind G und H
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5.4. KÖRPER 91 In der Zahlentheori
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(K1) Seien a, b, c ∈É×É. Wir f
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KAPITEL 6 Zahlenmengen Dieses letzt
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