Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

5.1. MOTIVATION 71
aus Zahlen a ij ∈Ê. Wir definieren die Summe zweier Matrizen komponentenweise,
d.h.
( ) ( ) ( )
a11 a 12 b11 b
+ 12 a11 + b
:= 11 a 12 + b 12
a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 + b 21 a 22 + b 22
und erhalten wieder eine 2 × 2–Matrix.
Multiplikation: Auf M 2 (Ê) kann man auch ein Produkt einführen, das zwei Matrizen
eine weitere Matrix zuordnet. Die Definition ist nicht-trivial und lautet
( )
a11 a 12
·
a 21 a 22
( )
b11 b 12
:=
b 21 b 22
( )
a11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22
.
a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22
Visualisieren lässt sich die Verknüpfung an Hand der grauen Pfeile in Ab-
( ) . ( ) =(
a
a
a
11 12
a
21 22
b
b
b
11 12
b
21 22
a b +a b
11 11
a b +a b
21
11
12 21
22 21
a b +a b
11 21 12 22
a b +a b
21 12 22 22)
Abbildung 5.1. Multiplikation von Matrizen
bildung 5.1. Um etwa den hellsten Eintrag in der Ergebnismatrix zu erhalten,
wandert man die hellsten Pfeile in den beiden Faktoren entlang. Dann berechnet
man das Produkt der ersten Zahl links mit der ersten Zahl im Pfeil rechts,
das der zweiten Zahl im linken Pfeil mit der zweiten Zahl im rechten Pfeil und
summiert die Ergebnisse.
Gleitkommazahlen: Sei FP 2 die Menge aller rationalen Zahlen, die sich schreiben
lassen als ±0.z 1 z 2 ·10 n mit Ziffern z 1 und z 2 und ganzzahligem Exponenten n. Diese
Zahlen heißen auch dezimale Gleitkommazahlen mit zwei signifikanten Stellen. Addieren
wir zwei solche Zahlen, erhalten wir wieder eine rationale Zahl. Diese Zahl
lässt sich aber meist nicht in der obigen Form schreiben:
0.23 + 4.5 = 4.73.
Wir zwingen das Ergebnis nun in die Gleitkommaform, indem wir runden. Dann
wird
0.23 + 4.5 = 4.73 ≈ 4.7
und wir definieren eine ”
veränderte“ Addition ⊕, die Addition mit Runden, sodass
0.23 ⊕ 4.5 = 4.7.
Damit ergibt die ⊕-Summe zweier Elemente von FP 2 wieder eine Gleitkommazahl
mit zwei signifikanten Stellen.
Alle diese Beispiele haben eines gemeinsam. Wir starten mit einer Menge M und einer
Methode, wie wir aus zwei Elementen von M ein weiteres Element von M erzeugen. In der
nächsten Definition schälen wir diese Struktur heraus.