Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

50 4. MENGENLEHRE
Bemerkung 4.1.14. Die Komplementbildung ∁A kann mit Hilfe der Mengendifferenz
und dem Universum U kurz beschreiben als
∁A = U \ A.
Beispiel 4.1.15. Seien A = {2, 3, 6} und B = {2, 5, 7}. Dann ist A \ B = {3, 6}.
Die symmetrische Mengendifferenz ist die letzte Grundoperation, die wir für Mengen
einführen wollen.
Definition 4.1.16 (Symmetrische Mengendifferenz). Es seien wieder zwei Mengen A
und B gegeben. Wir definieren die symmetrische Differenz A △ B von A und B als die
Menge derjenigen Elemente von A und B, die nicht in beiden Mengen liegen; formal
A △ B := (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
Diese Definition beinhaltet genau genommen eine kleine Behauptung, nämlich dass die
beiden Ausrücke rechts des definierenden Gleichheitszeichens (:=), d.h. (A \ B) ∪ (B \ A)
und (A ∪ B) \ (A ∩ B) ihrerseits gleich sind. Wird in einem mathematischen Text eine
solche Mini-Behauptung“ nicht weiter begründet (wie etwa oben), so bedeutet das, dass
”
die AutorInnen der Ansicht sind, dass die Gültigkeit der Behauptung klar auf der Hand
liegt. Die Aufgabe der LeserInnen und besonders der AnfängerInnen ist es, solche kleinen
Behauptungen in mathematischen Texten aufzuspüren (d.h. diese nicht zu übersehen) und
sich ihre Gültigkeit klar zumachen. Ist der Text gut geschrieben (d.h. wird Ihr Wissensstand
von den AutorInnen richtig eingeschätzt), so sollten Sie auch keine Probleme haben, diese
” Mini-Behauptungen“ mit Mini-Beweisen“ zu belegen. Also, falls Ihnen die Aussage (A \
”
B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B) nicht klar ist, so nehmen Sie jetzt Papier und Bleistift zur
Hand und beweisen diese etwa mit einer der Methoden, die im Beweis von Theorem 4.1.12
verwendet wurden...
Beispiel 4.1.17. Seien wiederum A = {2, 3, 6} und B = {2, 5, 7}. Dann ist A △ B =
{3, 6, 5, 7}.
4.1.3. Potenzmenge, Produktmenge. Kommen wir nun, nachdem wir Operationen
definiert haben, um aus bestehenden Mengen neue Mengen zu definieren, zum nächsten
Schritt. Zunächst verwenden wir die Tatsache, dass Mengen wieder Mengen enthalten dürfen,
um die Potenzmenge einer Menge zu definieren.
Definition 4.1.18 (Potenzmenge). Sei M eine Menge. Die PotenzmengeÈM von M
ist definiert als die Menge aller Teilmengen von M.
Beispiel 4.1.19 (Potenzmengen).
• Die Potenzmenge von {1, 2, 3} ist
È{1, 2, 3} = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} } .
• Die Potenzmenge der leeren Menge ist nicht die leere Menge sondern eine einelementige
Menge, die nur die leere Menge enthält. (Also ein Sack, der nur einen
leeren Sack enthält!)
È∅ = {∅}.
Allgemein bezeichnet man eine Menge, die wieder Mengen enthält als Mengensystem.
Sind schließlich zwei Mengen A und B gegeben, so kann man die Produktmenge A × B
bilden. Zu diesem Zweck formen wir aus den Elementen a von A und b von B geordnete
Paare (a, b). In diesen Paaren schreiben wir die Elemente von A an erster und die Elemente
von B an zweiter Stelle. Zwei dieser geordneten Paare wollen wir nur dann als gleich
betrachten, wenn beide Komponenten übereinstimmen.