Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

60 4. MENGENLEHRE
(ii) f heißt surjektiv, wenn jedes Element b ∈ B von f getroffen wird, also mindestens
ein Urbild besitzt. In Symbolen:
∀b ∈ B : ∃a ∈ A : f(a) = b.
(iii) Wir nennen f bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. Das ist der Fall, wenn
jedes Element in der Bildmenge B genau ein Urbild besitzt.
Mitunter werden für die Begriffe injektiv und bijektiv auch die alten Begriffe eindeutig und
eineindeutig verwendet. Das wäre ja leicht zu merken, doch unglücklicherweise verwenden
manche Autoren den Begriff ”
eineindeutig“ statt für bijektiv für injektiv. Daher raten wir
dringend zur Verwendung der lateinischen Bezeichnungen.
Ist f : A → B surjektiv, so sagt man auch f ist eine Abbildung von A auf B.
Wenn man Injektivität und Surjektivität von Abbildungen untersucht, ist es wichtig,
nicht zu vergessen, Definitions- und Zielmenge genau zu beachten. Wenn wir etwa die Zuordnungsvorschrift
x ↦→ x 2 untersuchen, dann können wir abhängig von Definitions- und
Bildbereich alle Varianten finden, wie uns das folgende Beispiel zeigt.
Beispiel 4.3.10 (Injektiv, surjektiv, bijektiv). Wir bezeichnen mitÊ+ 0 die Menge der
nichtnegativen reellen Zahlen, d.h.Ê+ 0 := {x ∈Ê|x≥0}.
• x ↦→ x 2 :Ê→Êist weder injektiv noch surjektiv, weil f(−1) = 1 = f(1), was der
Injektivität widerspricht und −1 nicht von f getroffen wird, was die Surjektivität
ausschließt.
• x ↦→ x 2 :Ê+ 0 →Êist injektiv aber nicht surjektiv.
• x ↦→ x 2 :Ê→Ê+ 0 ist surjektiv aber nicht injektiv.
• x ↦→ x 2 :Ê+ 0 →Ê+ 0 ist bijektiv.
Ein einfaches aber wichtiges Beispiel für eine bijektive Abbildung ist für jede Menge
M die Identität (auch identische Abbildung genannt), die jedem m ∈ M wieder m
zuordnet, d.h.
½M : M → M
½M(m) = m.
In vielen Texten wird die identische Abbildung auch mit id M bezeichnet. Ist aus dem Zusammenhang
klar, was die Menge M ist, so wird sie gerne notationell unterdrückt, d.h. die
Identität wird mit½oder id bezeichnet.
Sind f : A → B und g : B → C zwei Abbildungen, so können wir diese hinter einander
ausführen, indem wir das Ergebnis von f in g einsetzen: g(f(a)). Dies ist ein wichtiges
Konzept.
Definition 4.3.11 (Verknüpfung von Abbildungen). Seien f : A → B und g : B → C
zwei Abbildungen. Wir definieren die Verknüpfung von f mit g (oder die Hintereinanderausführung
von f und g bzw. die Komposition von f mit g) in Zeichen, g ◦ f : A → C
durch
(g ◦ f)(a) := g(f(a)). (4.3)
Achten Sie sorgfältig auf die Reihenfolge bei Verknüpfungen! Die Notation ist so gewählt,
dass auf beiden Seiten von Gleichung (4.3) die Reihenfolge der Symbole g und f übereinstimmt.
Das Symbol g ◦ f wird auch ”
g nach f“ gelesen, um klar zu stellen, dass zuerst die
Funktion f und dann die Funktion g ausgeführt wird.
Sind f : A → B, g : B → C und h : C → D drei Abbildungen, so gilt das Assoziativgesetz
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f) (dies folgt leicht aus der Definition). Man darf also beim
Zusammensetzen von Abbildungen die Klammern weglassen.