Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

38 3. LOGIK
Nachdem wir beide Implikationen bewiesen haben, gilt die im Satz behauptete Äquivalenz.
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Ganz nebenbei schließt die ”
Rückrichtung“ der Proposition mittels der Äquivalenz (¬p ⇒
¬q) ⇔ (q ⇒ p) (Diese ist ganz einfach mittels Wahrheitstabellen nach zu weisen.) auch die
(kleine) Lücke im Beweis von Theorem 3.2.4 (Ganz ehrlich: Haben Sie diese bemerkt?).
Hat man mehr als zwei Aussagen, von denen man die Äquivalenz zeigen möchte, etwa
A, B und C, so kann man einen sogenannten Zirkelschluss A ⇒ B, B ⇒ C, C ⇒ A
durchführen, um die Äquivalenz der Aussagen sicher zu stellen. Vorsicht: Solche Zirkelschlüsse
beweisen nur die Äquivalenz von Aussagen. Über deren Wahrheitswert wird durch
solch einen Beweis nichts bekannt.
Interessant ist noch die Verneinung einer Äquivalenz. Mit Hilfe der Wahrheitstabelle
sehen wir nämlich ¬(p ⇔ q) = p⊻q, also p ist nicht äquivalent zu q“ ist gleichbedeutend mit
”
entweder p oder q“. Umgekehrt ist natürlich die Verneinung einer Entweder-Oder-Aussage
”
eine Äquivalenz.
3.2.3. Quantoren. Viele mathematische Aussagen gelten für bestimmte oder auch alle
Objekte einer ”
Gattung“; diesen Formulierung wollen wir uns nun zuwenden.
3.2.3.1. Der Allquantor (∀). Ein Großteil der mathematischen Theorien handelt von
Strukturen und Regeln. Ein Beispiel für Regeln sind Rechengesetze, die etwa für alle Objekte
eine bestimmten Menge gelten. In diesem Fall verwenden wir das Zeichen ∀, den Allquantor.
Die Formulierung ”
∀x ∈ M :“ bedeutet ”
Für alle x in M gilt...“.
Andere Formulierung für dieselbe Zeichenfolge sind etwa
• Für jedes x in M gilt...
• Sei m ∈ M beliebig. Dann gilt...
• Für eine beliebiges Element von M gilt...
• Ist m ∈ M, dann gilt...
• Jedes Element aus M erfüllt...
• Die Elemente von M erfüllen...
• ∧ m ∈ M.
Bezieht sich ein ∀ auf mehrere Variable auf einmal, so verwendet man auch oft je zwei“, ”
je drei“, ...
”
• Durch je zwei verschiedene Punkte P und Q geht genau eine Gerade.
bedeutet ”
Für jeden Punkt P und jeden Punkt Q ≠ P gibt es genau eine...“
Der Unterschied zwischen ”
alle“ und ”
jedes“ besteht meist darin, dass ”
für alle“ auf
die Gesamtheit aller Objekte abzielt, während ”
jedes“ ein beliebig herausgegriffenes Objekt
meint:
• Alle bijektiven Funktionen sind invertierbar.
• Für jede bijektive Funktion f existiert die Umkehrfunktion, welche wir mit f −1
bezeichnen.
Merke: Um eine Allaussage zu widerlegen genügt die Angabe eines
Gegenbeispieles.
Behauptung: Alle ungeraden Zahlen sind Primzahlen. Dies ist natürlich
falsch, denn die Zahl 9 = 3 · 3 ist eine ungerade Zahl, die keine Primzahl
ist.