Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

3.2. AUSSAGEN, LOGIK 31
3.2. Aussagen, Logik
In der Mathematik werden Begriffe und Regeln der Logik verwendet, um das Theoriegebäude
zu erbauen. Die Mathematik arbeitet dabei mit Aussagen. Das hervorstechende
Merkmal einer Aussage ist dabei:
Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch.
Beispiel 3.2.1 (Aussagen). Beispiele für Aussagen sind etwa:
• 7 ist größer als 5, oder in Zeichen 7 > 5.
• Es gibt unendlich viele Primzahlen.
• Wale sind Säugetiere.
Die folgenden Sätze sind keine Aussagen:
• Wer geht heute ins Clubbing?
• 5 + 8
Eine Besonderheit der Mathematik besteht darin, dass zu Beginn als Fundament der gesamten
Wissenschaft eine Reihe von Aussagen, die Axiome als wahr angenommen werden.
Danach werden ausgehend von diesen Aussagen weitere wahre Aussagen abgeleitet. Gewissermaßen
könnte man also sagen, dass sich die Mathematiker eine eigene streng logisch
aufgebaute ”
Welt“ erschaffen, in der sie niemals lügen (d.h. sie machen nur wahre Aussagen).
Die Gültigkeit dieser Aussagen wird dadurch sicher gestellt, dass sie durch definierte logische
Umformungsschritte aus bereits als wahr erkannten Aussagen abgeleitet werden (auch was
ableiten bedeutet, kann man exakt definieren — das ist aber Gegenstand der Vorlesungen
aus dem Gebiet ”
Logik“). Diesen Vorgang nennt man beweisen.
3.2.1. Und oder oder, oder nicht? Nachdem Aussagen zwei mögliche ”
Werte“ haben
können, kann man sie mit den gleichen Augen betrachten wie Schalter oder Stromleitungen,
und man kann genau dieselben Verknüpfungen von Aussagen machen wie man aus Schaltern
und Leitungen Schaltungen bauen kann. Man beachte, dass bei der Untersuchung von
Aussagen an Stelle von Schaltungen die Schaltwerttabellen als Wahrheitstafeln bezeichnen
werden.
Setzen wir in den Tabellen für wahr den Wert 1 und für falsch den Wert 0 und werfen
wir noch einmal einen Blick auf die drei Grundoperationen, und versuchen wir zu klären,
was sie im Zusammenhang mit Aussagen bedeuten.
3.2.1.1. Oder (∨). Bei der Definition der Oder-Verknüpfung muss man aufmerksam
sein, und daher wollen wir sie zu Beginn behandeln.
Die Aussage
Peter ist Professor oder Student.
bedeutet, dass Peter Professor oder Student oder beides ist. Das Oder in der Mathematik
ist (wie wir schon aus Abschnitt 3.1 wissen) ein einschließendes Oder — im Gegensatz zum
umgangssprachlichen Gebrauch. Das entspricht auch der Tabelle zur Verknüpfung ∨.
Ein Oder in einer mathematische Aussage ist immer als einschließenden Oder zu verstehen.
Möchte man in einer mathematischen Aussage ein Oder so verstanden wissen, dass es,
ähnlich zur Umgangssprache, das ”
oder beides“ ausschließt, möchte man also statt einem
einschließenden Oder ein ausschließendes Oder verwenden, so muss man das explizit machen,
indem man beispielsweise formuliert:
Peter ist entweder Professor oder Student.
und eventuell sogar hinzufügt:
Aber nicht beides.