Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien
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28 3. LOGIK<br />
(2) Für die O<strong>der</strong>-Verknüpfung erhalten wir a ∨ b = (a ¬ ∧ a) ¬ ∧ (b ¬ ∧ b):<br />
a b a ∧ ¬ a b ∧ ¬ b (a ∧a) ¬ ∧ ¬ (b ∧b) ¬ a ∨ b<br />
0 0 1 1 0 0<br />
0 1 1 0 1 1<br />
1 0 0 1 1 1<br />
1 1 0 0 1 1<br />
(3) Zuletzt stellen wir die Und-Verknüpfung ebenfalls durch drei NAND Operationen<br />
dar als a ∧ b = (a ¬ ∧b) ¬ ∧ (a ¬ ∧b). Überprüfen wir die Richtigkeit wie<strong>der</strong> mit Hilfe <strong>der</strong><br />
Schaltwerttabelle:<br />
a b a ∧ ¬ b (a ∧b) ¬ ∧ ¬ (a ∧b) ¬ a ∧ b<br />
0 0 1 0 0<br />
0 1 1 0 0<br />
1 0 1 0 0<br />
1 1 0 1 1<br />
Eine wichtige Frage bei <strong>der</strong> technischen Herstellung von Schaltungen ist die folgende:<br />
Es sei festgelegt, bei welchen Schalterstellungen welche Leitungen Strom führen sollen und<br />
welche nicht; es sei also die Schalttafel gegeben. Was ist die einfachste Schaltung, die genau<br />
diese Schalttafel besitzt?<br />
Diese Frage zu be<strong>an</strong>tworten ist nicht g<strong>an</strong>z einfach. Es ist sicher, dass es eine Schaltung<br />
gibt, die <strong>der</strong> Schalttafel entspricht. M<strong>an</strong> k<strong>an</strong>n sie auch immer konstruieren mit Hilfe <strong>der</strong> sogen<strong>an</strong>nten<br />
disjunktiven Normalform. Es sei also eine Funktion f gegeben, <strong>der</strong>en Wert 0<br />
o<strong>der</strong> 1 ist und von den binären Variablen a 1 , . . ., a n abhängt. Möchte m<strong>an</strong> eine Schaltung konstruieren<br />
mit n Schaltern, die den Variablen entsprechen, die immer den Wert f(a 1 , . . ., a n )<br />
ergibt, so folgt m<strong>an</strong> dem folgenden Algorithmus:<br />
(1) Stelle die Schaltwerttabelle mit den Variablen links und dem gewünschten Funktionswert<br />
rechts auf.<br />
(2) Streiche alle Zeilen, in denen f(a 1 , . . .,a n ) den Wert 0 hat.<br />
(3) Ordne je<strong>der</strong> <strong>der</strong> verbliebenen Zeilen eine Und-Verknüpfung von allen Variablen a i<br />
zu, die in dieser Zeile den Wert 1 haben und von den Negationen ¬a j aller Variablen,<br />
die in dieser Zeile den Wert 0 haben.<br />
(4) Verknüpfe alle gerade konstruierten Und-Glie<strong>der</strong> durch O<strong>der</strong>-Verknüpfungen.<br />
Beispiel 3.1.5. Konstruieren wir die disjunktive Normalform zur Schaltwerttabelle<br />
Die disjunktive Normalform ist d<strong>an</strong>n<br />
a b c f(a, b, c) Und-Verknüpfung<br />
0 0 0 1 ¬a ∧ ¬b ∧ ¬c<br />
0 0 1 0<br />
0 1 0 1 ¬a ∧ b ∧ ¬c<br />
0 1 1 1 ¬a ∧ b ∧ c<br />
1 0 0 1 a ∧ ¬b ∧ ¬c<br />
1 0 1 0<br />
1 1 0 0<br />
1 1 1 1 a ∧ b ∧ c<br />
f(a, b, c) = (¬a ∧ ¬b ∧ ¬c) ∨ (¬a ∧ b ∧ ¬c) ∨ (¬a ∧ b ∧ c) ∨ (a ∧ ¬b ∧ ¬c) ∨ (a ∧ b ∧ c).<br />
Die disjunktive Normalform ist übrigens nicht die einzige Möglichkeit, zu einer gegebenen<br />
Schaltwerttabelle eine Schaltung zu konstruieren. Es existiert zum Beispiel auch noch
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